וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב2. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בפתרון משוואות טריגונומטריות, בעיקר בסינוס, תוך התייחסות לשימוש ברדיאנים ולכתיבת פתרון כללי ופריסתו בתחום.
- להבין כיצד לפתור משוואות סינוס עם זוויות מרובות של X
- ללמוד לכתוב פתרונות כלליים למשוואות טריגונומטריות
- להמיר זוויות מעלות לרדיאנים ולהשתמש בפיתרון ברדיאנים
- לדעת למצוא נקודות חיתוך של פונקציות טריגונומטריות עם צירי X ו-Y
- לתרגל פריסת פתרונות בתחום מוגדר
- פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות: הסבר על מבנה הפתרון למשוואות סינוס, שימוש בזוויות X ו-180 מינוס X ועוד 360 כפול K כדי לייצג פתרונות כלליים.
- משוואות טריגונומטריות ללא שימוש במחשבון: הסבר על משוואות מהצורה סינוס X שווה סינוס Y והכלל שמאפשר לפתור בקלות יחסית ללא שימוש במחשבון
- שימוש ברדיאנים: מוטיבציה לשימוש ברדיאנים במקום מעלות, המרה של מעלות לרדיאנים, ושימוש במחשבון עם קבוע הפאי
- תרגול ואימון במשוואות טריגונומטריות: הצגת תרגיל לדוגמה למציאת נקודות חיתוך של פונקציה נתונה עם צירי X ו-Y, כולל שימוש במחשבון ובפריסת פתרונות בתחום
תרגול קצר
פתור את המשוואה סינוס 2X = מינוס חצי
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה סינוס 2X שווה למינוס חצי וכתוב את הפתרונות הכלליים של X.
רמז: מצא את הזוויות שגורמות לסינוס להיות מינוס חצי, ואז חלק ב-2 כדי לבודד את X.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = -15 + 180K, 105 + 180K
הזוויות המתאימות הן -30 ו-210 מעלות. נכתוב שתי משוואות: 2X = -30 + 360K ו-2X = 210 + 360K. נחלק ב-2 ונקבל X = -15 + 180K או X = 105 + 180K.
פתרון משוואה סינוס 2X = סינוס X
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה סינוס 2X שווה לסינוס X וכתוב את הפתרונות הכלליים עבור X.
רמז: השתמש בכלל לפיתרון סינוס X = סינוס Y: X=Y+360K או X=180-Y+360K.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 360K , X = 60 + 120K
נכתוב 2X = X + 360K או 2X = 180 - X + 360K. מהמשוואה הראשונה: X=360K. מהשנייה: 3X=180 + 360K, לכן X=60 + 120K.
מציאת נקודות החיתוך עם ציר X לפונקציה y = -√3/2 + sin(2X) בתחום [-π, 2π]
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה y = -שורש 3 חלקי 2 + סינוס 2X בתחום מ-π⁻ עד 2π. מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X בתחום הנתון.
רמז: קבע y=0 ופתור את המשוואה sin(2X) = √3/2, השתמש בפתרון הכללי וחפש פתרונות בתחום.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות החיתוך הן X=π/6 + πK, X= π/3 + πK בתוך התחום [-π, 2π].
אם y=0 נקבל sin(2X) = √3/2. הזוויות המתאימות הן π/3 ו-2π/3. נכתוב 2X = π/3 + 2πK או 2X = π - π/3 + 2πK = 2π/3 + 2πK. נחלק ב-2: X= π/6 + πK או X= π/3 + πK. סרוק את הערכים בתחום הנתון ומצא את נקודות החיתוך המתאימות.
דרך הפתרון
פתרון משוואה סינוס 2X = מינוס חצי
לדוגמה מהשיעור – פתרון משוואה טריגונומטרית עם זווית כפולה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא X – הפתרונות הכלליים למשוואה
- נתון 1
נתון 1
sin(2X) = -1/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
מצא את זוויות הפתרון הבסיסיות במעלות, כתוב את הפתרונות הכלליים, ואז העבר ל-X בודד באמצעות חלוקה.
- נוסחה
כתוב את הפתרונות הכלליים לפי הנוסחאות 2X = זווית + 360K ו-2X = 180 -
2X = -30 + 360K2X = 210 + 360K - משוואה
נתונה המשוואה sin(2X) = -1/2
נתונה המשוואה sin(2X) = -1/2
- פישוט
מחלקים ב-2 את שני הצדדים
מחלקים ב-2 את שני הצדדים
X = (-30 + 360K) / 2X = (210 + 360K) / 2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
מסכמים את פתרונות X הכלליים
X = -15 + 180Kאו - בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הזוויות הבסיסיות נבחרו נכון?
- האם הנוסחאות הכלליות נכתבו כולן עם 360K?
- זהירות: שכחת להוסיף את 360K לפתרונות הכלליים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה
זיהוי נתונים
נתון המשוואה
מה עושים
נתונה המשוואה sin(2X) = -1/2
למה
המשוואה המחייבת פתרון טריגונומטרי.
יש לפתור כדי למצוא את כל הערכים של X שמקיימים את המשוואה.
2בחירת שיטה
מצא זוויות בסיסיות במעלות
בחירת שיטה
מצא זוויות בסיסיות במעלות
מה עושים
מצא זוויות Z שבהן sin(Z) = -1/2
למה
זוויות אלו הן בסיס לפיתרון המשוואה.
הזוויות הן -30 ו-210 מעלות.
השתמש בטבלת הערכים של סינוס או מחשבון.
3בניית משוואה
נוסחאות הפתרון הכלליות
בניית משוואה
נוסחאות הפתרון הכלליות
מה עושים
כתוב את הפתרונות הכלליים לפי הנוסחאות 2X = זווית + 360K ו-2X = 180 - זווית + 360K
למה
כך מבטיחים לכלול את כל הפתרונות האפשריים של סינוס.
כאן הזוויות הן -30 ו-210, ולכן: 2X = -30 + 360K, 2X = 210 + 360K.
נוסחה / הצבה
2X = -30 + 360K2X = 210 + 360Kהקפד לכלול את כל הערכים של K שלמים.
4פתרון
בודדים את X
פתרון
בודדים את X
מה עושים
מחלקים ב-2 את שני הצדדים
למה
כדי לקבל את הפתרונות עבור X, ולא עבור 2X.
X = -15 + 180K ו-X = 105 + 180K
נוסחה / הצבה
X = (-30 + 360K) / 2X = (210 + 360K) / 2בדוק ש-K הוא שלם בכל פתרון.
5תשובה
פתרון סופי כללי
תשובה
פתרון סופי כללי
מה עושים
מסכמים את פתרונות X הכלליים
למה
כדי להציג לתלמיד את התשובה הסופית לפתור המשוואה.
X = -15 + 180K או X = 105 + 180K, כאשר K כל מספר שלם.
נוסחה / הצבה
X = -15 + 180KאוX = 105 + 180KK שייך למספרים השלמיםפתרונות אלו כוללים את כל הפתרונות האפשריים למשוואה.
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה סינוס 2X = מינוס חצי: הזוויות המתאימות הן -30 ו-210 מעלות. נכתוב שתי משוואות: 2X = -30 + 360K ו-2X = 210 + 360K. נחלק ב-2 ונקבל X = -15 + 180K או X = 105 + 180K.
- פתרון משוואה סינוס 2X = סינוס X: נכתוב 2X = X + 360K או 2X = 180 - X + 360K. מהמשוואה הראשונה: X=360K. מהשנייה: 3X=180 + 360K, לכן X=60 + 120K.
- מציאת נקודות החיתוך עם ציר X לפונקציה y = -√3/2 + sin(2X) בתחום [-π, 2π]: אם y=0 נקבל sin(2X) = √3/2. הזוויות המתאימות הן π/3 ו-2π/3. נכתוב 2X = π/3 + 2πK או 2X = π - π/3 + 2πK = 2π/3 + 2πK. נחלק ב-2: X= π/6 + πK או X= π/3 + πK. סרוק את הערכים בתחום הנתון ומצא את נקודות החיתוך המתאימות.