וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב3. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות מסוג קוסינוס, תוך התמקדות בזיהוי התבניות לפתרונות, עבודה עם זוויות במעלות וברדיאנים, חיתוכים עם הצירים וחישוב ערכי אלפא במחשבון.
- להבין את התבניות בפתרון משוואות קוסינוס
- ליישם את תכונות הפונקציה קוסינוס בפתרון משוואות
- לעבוד עם זוויות במעלות וברדיאנים במחשבון
- לחשב את חיתוך הפונקציה עם צירי x ו-y
- לזהות מצבים מיוחדים של הפונקציה קוסינוס ולזכור אותם
- לנצל זהויות טריגונומטריות לפישוט משוואות
- פתרון משוואות קוסינוס כלליות: להבין את המשוואה קוסינוס x = a ואת הפתרונות שלה על ציר הזוויות, כולל שימוש באלפא ו-2πk לפתרון כללי.
- שימוש במחשבון וסימונים: השימוש במחשבון לכתיבת זוויות, חשיבות ערכי האלפא, והקפדה על כתיבה נכונה של מעריכים בריבוע.
- חיתוכים עם צירי x ו-y: איסוף דרכים למציאת חיתוכים עם הצירים על ידי השוואה ל-0, שימוש בזהויות, והערכה בעזרת המחשבון.
תרגול קצר
פתרון משוואת קוסינוס בסיסית
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה cos x = 0.5 בתחום 0≤x<360 מעלות
רמז: מצא את α באמצעות המחשבון, ואז כתוב את הפתרונות הכלליים x = ±α + 360k
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 60°, 300°
α = 60° פתרונות: x = 60° + 360k או x = 300° + 360k בתחום הנתון הפתרונות הם 60° ו-300°
פתרון משוואת קוסינוס במעלות עם כפילות זוויות
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה cos 2x = 0 בתחום 0≤x<360 מעלות
רמז: כתוב את המשוואה כפונקציית 2x ואז פיתרון סטנדרטי לפונקציית קוסינוס
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 45°, 135°, 225°, 315°
cos 2x = 0 ⟹ 2x = 90° + 180°k אז x = 45° + 90°k בתחום: k=0 → x=45° k=1 → x=135° k=2 → x=225° k=3 → x=315°
דרך הפתרון
פתרון משוואת cos 2x = 0 בתחום 0–360 מעלות
יישום חוקי הפתרון הכלליים של קוסינוס כפול זווית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x בתחום הנתון שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
המשוואה cos 2x = 0 - נתון 2
תחום x הוא 0 עד 360 מעלות
- רעיון
הרעיון המרכזי
קודם נמצא את הפתרון של 2x לפי חוקי הקוסינוס, ואז נחלק ב-2 להתאמת x למעלות.
- נוסחה
הצבת הפתרונות של הזווית כ-2x
2x = 90 + 180 k - משוואה
יודעים כי cos של זווית שווה ל-0
יודעים כי cos של זווית שווה ל-0
- פישוט
x = (90 + 180k) / 2
x = (90 + 180k) / 2
x = (90 + 180 k) / 2x = (90 + 180 k)/(2) - תוצאה
מסיימים בתשובה
רשום את כל הערכים שמצאת
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
משוואת cos 2x = 0
זיהוי נתונים
משוואת cos 2x = 0
מה עושים
יודעים כי cos של זווית שווה ל-0
למה
לתקן את הזווית 2x עבור המשוואה.
יש לפתור את המשוואה cos 2x = 0
2בחירת שיטה
הזווית 2x שווה לאיקס שמקיים cos = 0
בחירת שיטה
הזווית 2x שווה לאיקס שמקיים cos = 0
מה עושים
להשתמש בפורמולה לפתרון cos θ = 0
למה
cos θ = 0 כאשר θ שווה ל-90 מעלות ועוד 180 מעלות כפול k
קוסינוס מתאפס ב-90 מעלות ועוד מחזור 180 מעלות.
3בניית משוואה
כתוב: 2x = 90 + 180k
בניית משוואה
כתוב: 2x = 90 + 180k
מה עושים
הצבת הפתרונות של הזווית כ-2x
למה
כדי לקבל את כל הפתרונות הכלליים של המשוואה
נוסחה / הצבה
2x = 90 + 180 k4פתרון
חלק ב-2 את שני האגפים
פתרון
חלק ב-2 את שני האגפים
מה עושים
x = (90 + 180k) / 2
למה
למצוא את x בתחום הנתון
נוסחה / הצבה
x = (90 + 180 k) / 2x = (90 + 180 k)/(2)חישוב הערכים הממשיים הרצויים.
5פתרון
חשב ערכי x עבור k שונה בטבלה
פתרון
חשב ערכי x עבור k שונה בטבלה
מה עושים
k=0 → x=45°, k=1 → 135°, k=2 → 225°, k=3 → 315°
למה
חשב את הפתרונות בתחום 0–360 מעלות
בודקים ערכי k שלמים כדי למצוא את כל הפתרונות
קבל ערכים בתחום המותר בלבד.
6תשובה
הפתרונות הם 45°, 135°, 225°, 315°
תשובה
הפתרונות הם 45°, 135°, 225°, 315°
מה עושים
רשום את כל הערכים שמצאת
למה
אלה כל הפתרונות במשוואה בתחום הנתון
פתרונות כלליים
- פתרון משוואת קוסינוס בסיסית: α = 60° פתרונות: x = 60° + 360k או x = 300° + 360k בתחום הנתון הפתרונות הם 60° ו-300°
- פתרון משוואת קוסינוס במעלות עם כפילות זוויות: cos 2x = 0 ⟹ 2x = 90° + 180°k אז x = 45° + 90°k בתחום: k=0 → x=45° k=1 → x=135° k=2 → x=225° k=3 → x=315°