וידאו · וקטורים שאלות מיוחדות
א3. תרגיל חשוב בוקטורים אלגבריים תרגיל 32 עמוד 492
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בפתרון תרגיל חשוב בווקטורים אלגבריים הכולל מציאת משוואת מישור ויישום אלגברה על מנת לפשט ביטויים ולהגיע לפתרון הסופי.
- להבין כיצד לייצג נקודות ומישורים במישור וקטורי
- ללמוד כיצד להמיר טקסט מתמטי לציור ויזואלי
- ליישם משוואות נקודות על מישור
- להבין ולהפעיל נוסחאות לחישוב מרחק מנקודה למישור
- לפתור מערכות משוואות אלגבריות מורכבות ולפשט ביטויים וקטוריים
- המרת מילים לציור ווקטורי: חשיבות יצירת ייצוג ויזואלי מהנתונים המילוליים כדי להקל על ההבנה והפתרון.
- הכנת המשוואות לטיפול אלגברי: חשיבות הבנת המשוואה הכללית של המישור עם ארבעה נעלמים ופתרון יחסי בין המשתנים.
- חישוב המרחק מראשית הצירים למישור: הפעלת נוסחת המרחק מנקודה למישור כדי לקבל קשר בין המשתנים A, B, C, D.
- פתרון המערכת והפישוט האלגברי: חקירה עמוקה של הפישוט האלגברי במערכת המשוואות תוך שמירה על סבלנות ודיוק.
תרגול קצר
מציאת משוואת מישור מחולל בנקודות
רמת קושי: קל
נתונה נקודה A=(2,1,0) ונקודה B=(13,1,3). גלה את משוואת המישור שעובר בשתי הנקודות הללו ומרחקו מראשית הצירים הוא שורש 3.
רמז: הקם משוואות על ידי הצבת הנקודות במשוואת המישור הכללית, השתמש בנוסחת המרחק מהר לצירים ולאחר מכן פתר את המשוואות.
פתרון מלא
תשובה סופית: 7X + Y + 5Z - 15 = 0
נניח משוואת מישור: AX + BY + CZ + D = 0. נסמן נקודות נתונות: P1 = (2,1,0), P2 = (13,1,3). נציב P1: 2A + B + D = 0 נציב P2: 13A + B + 3C + D = 0 מרחק מראשית הצירים: |D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3). באמצעות שלוש המשוואות האלו, בידוד והצבה של משתנים, נמצא כי A = 7B, C = 5B, D = -15B. נציב ונקבל משוואת המישור: 7X + Y + 5Z - 15 = 0.
דרך הפתרון
מפת פתרון: משוואת מישור ווקטורי
תרגיל 32 עמוד 492: מציאת משוואת מישור על פי נקודות ומרחק מראשית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המישור בצורה AX + BY + CZ + D = 0
- נתון 1
נתון 1
נקודה A=(2,1,0) - נתון 2
נתון 2
נקודה B=(13,1,3) - נתון 3
נתון 3
מרחק המישור מראשית הצירים = שורש 3 - רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הנקודות במשוואה הכללית ונשתמש בנוסחת המרחק מראשית הצירים למישור, נבודד ונצמצם משתנים כדי
- נוסחה
נשתמש בנוסחה |D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3)
Absolute value of D divided by square root of A squared plus B squared plus C squared equals square root of 3|D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3)(|D|)/(A^2 + B^2 + C^2) = 3 - משוואה
הבע A,C,D תלוי ב-B, פתור את המערכת על ידי הצבה והעלאת בריבוע
הבע A,C,D תלוי ב-B, פתור את המערכת על ידי הצבה והעלאת בריבוע
- פישוט
נקבל כי A=7B, C=5B, D=-15B ומציבים במשוואת המישור
נקבל כי A=7B, C=5B, D=-15B ומציבים במשוואת המישור
7 X plus Y plus 5 Z minus 15 equals 07X + Y + 5Z - 15 = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
רשימת הנתונים
זיהוי נתונים
רשימת הנתונים
מה עושים
רשום את נקודות A ו-B והמרחק מראשית הצירים
למה
כדי לזהות את כל הנתונים הדרושים לפתירת הבעיה
הנתונים כוללים נקודות במרחב ומרחק נתון מראשית הצירים למישור
תמיד כדאי לכתוב נתונים לפני התחלת הפתרון
2בחירת שיטה
יצירת משוואות מהמישור
בחירת שיטה
יצירת משוואות מהמישור
מה עושים
נניח משוואת מישור כללית ונציב את שתי הנקודות בה
למה
כדי לקבל שתי משוואות עם המשתנים A,B,C,D
נציב את נקודה A בנוסחה AX + BY + CZ + D = 0 ונקבל משוואה ראשונה, נעשה כך גם עם נקודה B
נוסחה / הצבה
2A + B + D = 013A + B + 3C + D = 0כל נקודה על המישור מקיימת את המשוואה שלו
3בחירת שיטה
נוסחת המרחק מראשית הצירים למישור
בחירת שיטה
נוסחת המרחק מראשית הצירים למישור
מה עושים
נשתמש בנוסחה |D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3)
למה
כדי לקבל משוואה שלישית המקשרת בין המשתנים
המרחק מראשית הצירים למישור נתון ולכן מייצר משוואה נוספת לפתרון המערכת
נוסחה / הצבה
Absolute value of D divided by square root of A squared plus B squared plus C squared equals square root of 3|D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3)(|D|)/(A^2 + B^2 + C^2) = 3נידרש להיפטר מערך מוחלט ושורש בהמשך
4בניית משוואה
בידוד משתנים ופתרון אלגברי
בניית משוואה
בידוד משתנים ופתרון אלגברי
מה עושים
הבע A,C,D תלוי ב-B, פתור את המערכת על ידי הצבה והעלאת בריבוע
למה
כדי לצמצם את מספר הנעלמים ולהפוך את המשוואות לפשוטות יותר
נבצע בידוד וביצוע פעולות אלגבריות שיקלו על חישוב הפיתרון
סבלנות בפישוט האלגברי היא המפתח
5פתרון
קבלת פתרונות למשתנים
פתרון
קבלת פתרונות למשתנים
מה עושים
נקבל כי A=7B, C=5B, D=-15B ומציבים במשוואת המישור
למה
כדי לקבל משוואת מישור סופית ופשוטה
הפשטנו את המערכת למציאת הפרופורציות בין המשתנים
נוסחה / הצבה
7 X plus Y plus 5 Z minus 15 equals 07X + Y + 5Z - 15 = 0ניתן לבחור B=1 להציג משוואה במכפלה פשוטה יותר
6תשובה
משוואת המישור הסופית
תשובה
משוואת המישור הסופית
מה עושים
משוואת המישור היא: 7X + Y + 5Z - 15 = 0
למה
זו הפונקציה המייצגת את המישור המבוקש בהתאם לנתונים
פתרון התרגיל הוא משוואת מישור בסוף הפתרון
השלב האחרון הוא לסכם את הפתרון ולהצביע על הנוסחה הסופית
פתרונות כלליים
- מציאת משוואת מישור מחולל בנקודות: נניח משוואת מישור: AX + BY + CZ + D = 0. נסמן נקודות נתונות: P1 = (2,1,0), P2 = (13,1,3). נציב P1: 2A + B + D = 0 נציב P2: 13A + B + 3C + D = 0 מרחק מראשית הצירים: |D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(3). באמצעות שלוש המשוואות האלו, בידוד והצבה של משתנים, נמצא כי A = 7B, C = 5B, D = -15B. נציב ונקבל משוואת המישור: 7X + Y + 5Z - 15 = 0.