וידאו · וקטורים שאלות מיוחדות
א1. תרגיל חשוב בוקטורים גאומטריים ניצול ישרים מתלכדים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בתרגיל מורכב בוקטורים עם ניצול ישרים מתלכדים וחישוב יחסים בין קטעים במשולש באמצעות פרופורציות ווקטוריות.
- הבנת מושג ישרים מתלכדים בוקטורים
- חישוב יחסים בין קטעים במשולש תוך שימוש בוקטורים
- שימוש בפרופורציות של וקטורים כדי לקבוע יחסים בין קטעים
- יישום טכניקות פישוט וייצוג וקטורי של קטעים גאומטריים
- הגדרת התרגיל: הצגת משולש ABC עם קטעים תיכוניים וקטע נוסף AE שווה לשלוש פעמים EC, נקודת החיתוך Q וייצוג וקטורי עם משתנים X, Y ו-T.
- בניית משוואות חשובות: כתיבת וקטורים לקטעים השונים לפי ההגדרות, וחישוב תנועות וקטוריות מ-A ל-D דרך נקודות שונות.
- זיהוי ישרים מתלכדים ופרופורציות: זיהוי שמדובר בשני ישרים מתלכדים ולכן הוקטורים פרופורציונליים, הבנה שיש לשוות פרופורציות בין רכיבי הוקטורים.
- פיתרון המשוואות וחישוב היחס: פתרון המשוואה לפרמטר T, הצבתו ובדיקת היחסים בין הקטעים AQ ל-QD ו-BQ ל-QE והגעה לתוצאה סופית של היחס 6 ל-1.
תרגול קצר
יחס בין קטעים בוקטורים במשולש
רמת קושי: קל
במשולש ABC ישרי התיכון BD ו-DC שווים. נקודה E נמצאת על הקטע AC כך ש-AE = 3EC. הישרים AD ו-BE נחתכים בנקודה Q. מצא את היחס בין AQ ל-QD לבין BQ ל-QE.
רמז: ייצג את הוקטורים המתאימים על הישרים, נסה לבטא את Q בפרמטר T ולנצל את התכונה שהוקטורים על ישרים מתלכדים הם פרופורציונליים.
פתרון מלא
תשובה סופית: היחס בין AQ ל-QD הוא 6 ל-1, והיחס בין BQ ל-QE הוא 4 ל-3.
מסמנים וקטורים V וכמו כן U לקטעי BC. מגדירים פרמטר T לנקודה Q על הישר AD. כותבים את הוקטורים AD ו-AQ בהתאם לפרמטר T. כיוון ש-AD ו-AQ על אותו ישר, הוקטורים פרופורציונליים. משווים את הפרופורציות. פותרים את המשוואה לקבלת T=4/7. מחשבים את הקטעים AQ ו-QD, היחס ביניהם הוא 6 ל-1. משתמע ש-BQ ל-QE ביחס 4 ל-3.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל יחסי בוקטורים במשולש עם ישרים מתלכדים
שלבים פשוטים להבנת התרגיל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא היחס AQ ל-QD / היחס BQ ל-QE
- נתון 1
משולש ABC
- נתון 2
נתון 2
BD=DC (תיכון) - נתון 3
נתון 3
AE = 3 × EC - רעיון
הרעיון המרכזי
נציין את נקודת החיתוך על פי פרמטר T ונצפין את התנאים על הוקטורים כדי למצוא את היחס המבוקש.
- נוסחה
מסמנים את Q על ישר AD כ-T מתוך הקטע השלם.
Q = T × ADQ = T AD - משוואה
מאחר וקטורים AD ו-AQ על אותו ישר, הם פרופורציונליים.
מאחר וקטורים AD ו-AQ על אותו ישר, הם פרופורציונליים.
- פישוט
משווים את הפרופורציות ורושמים משוואה, פותרים ל-T=4/7.
משווים את הפרופורציות ורושמים משוואה, פותרים ל-T=4/7.
7/4 T = 1(7)/(4) T = 1
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נקודת החיתוך Q בפרמטר T
זיהוי נתונים
הגדרת נקודת החיתוך Q בפרמטר T
מה עושים
מסמנים את Q על ישר AD כ-T מתוך הקטע השלם.
למה
כדי לייצג את מיקומה של Q ולקשר אותו לוקטור AD.
Q = T × AD
נוסחה / הצבה
Q = T × ADQ = T ADבחירת T מקלה על החישובים הפרופורציונליים.
2בחירת שיטה
כתיבת וקטורים לקטעים AD ו-AQ
בחירת שיטה
כתיבת וקטורים לקטעים AD ו-AQ
מה עושים
מבטאים את AD ו-AQ באמצעות וקטורים V ו-U והפרמטרים
למה
כדי להשוות את הוקטורים שנמצאים על אותו הישר.
כתיבה מדויקת של הוקטורים לפי פרופורציות שבין הקטעים.
הסר שום רבב בכתיבה כדי לשמור על סדר.
3בניית משוואה
הבנת ישרים מתלכדים ופרופורציונליות
בניית משוואה
הבנת ישרים מתלכדים ופרופורציונליות
מה עושים
מאחר וקטורים AD ו-AQ על אותו ישר, הם פרופורציונליים.
למה
כך ניתן לכתוב משוואה על פרופורציות הוקטורים.
וקטורים פרופורציונליים: AD = k × AQ
הכרחי לזכור וקטורים באותו כיוון הם פרופורציונליים.
4פתרון
פתרון משוואה למציאת T
פתרון
פתרון משוואה למציאת T
מה עושים
משווים את הפרופורציות ורושמים משוואה, פותרים ל-T=4/7.
למה
כדי לקבל את המיקום המדויק של Q על AD.
פתרון משוואה ליניארית פשוטה לפרמטר T.
נוסחה / הצבה
7/4 T = 1(7)/(4) T = 1בדוק את חישובי הפרופורציה לפני הפיתרון.
5פתרון
חישוב הקטעים AQ ו-QD
פתרון
חישוב הקטעים AQ ו-QD
מה עושים
מכפילים את AD בפרמטרים כדי לקבל את אורכי AQ ו-QD.
למה
כדי לקבוע את היחס בין הקטעים.
AQ = 3/7 × AD, QD = 1/14 × AD
שימו לב לשבריים בפיצול הקטע.
6תשובה
חישוב היחס הסופי בין AQ ל-QD
תשובה
חישוב היחס הסופי בין AQ ל-QD
מה עושים
מחלקים AQ ב-QD ומקבלים יחס של 6 ל-1.
למה
זו התשובה לסעיף המבוקש בתרגיל.
היחס AQ ל-QD = (3/7) ÷ (1/14) = 6
בדיקה סופית של היחס לאימות הנכונות.
פתרונות כלליים
- יחס בין קטעים בוקטורים במשולש: מסמנים וקטורים V וכמו כן U לקטעי BC. מגדירים פרמטר T לנקודה Q על הישר AD. כותבים את הוקטורים AD ו-AQ בהתאם לפרמטר T. כיוון ש-AD ו-AQ על אותו ישר, הוקטורים פרופורציונליים. משווים את הפרופורציות. פותרים את המשוואה לקבלת T=4/7. מחשבים את הקטעים AQ ו-QD, היחס ביניהם הוא 6 ל-1. משתמע ש-BQ ל-QE ביחס 4 ל-3.