וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
אינטגרל פשוט של חזקות x
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל של x בחזקת מינוס 3 ושל x בחזקת מינוס 2 בנפרד.
רמז: השתמש בחוק האינטגרציה לחזקות, שים לב לחריגות בחזקת -1.
תשובה סופית: ∫ x^(-3) dx = -1/2 x^(-2) + C ∫ x^(-2) dx = -x^(-1) + C
השתמש בנוסחה ∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C עבור כל n שונה מ-1. לאינטגרל ∫ x^(-3) dx, n=-3: מתקבל x^(-2)/(-2) + C. לאינטגרל ∫ x^(-2) dx, n=-2: מתקבל x^(-1)/(-1) + C.
אינטגרל פשוט של 1/x
רמת קושי: בינוני
חשב את האינטגרל של 1/x.
רמז: זכור שהאינטגרל של 1/x הוא ln|x| + C.
תשובה סופית: ln|x| + C
∫ 1/x dx = ln|x| + C
אינטגרל משולב עם חזקות ומקדמים
רמת קושי: מאתגר
חשב את האינטגרל של (2/x) + (3/(2x - 4)) dx.
רמז: פרק את האינטגרל לשניים וחשוב על שימוש ב-ln|כפולות| ובכללי אינטגרציה לחזקות.
תשובה סופית: 2 ln|x| + (3/2) ln|x - 2| + C
∫ (2/x) dx + ∫ (3/(2x - 4)) dx = 2 ∫ 1/x dx + 3/2 ∫ 1/(x - 2) dx = 2 ln|x| + (3/2) ln|x - 2| + C
אינטגרל חוקי לחזקות ומכונות
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = 1/x^3 + 1/x^2 + 1/x. חשב את האינטגרל של f(x) dx ופירש את התחום בו הפונקציה מוגדרת.
רמז: שבור את האינטגרל לסכום של איברים, אינטגרל לפונקציות עם חזקות וכן אינטגרל של 1/x עם ln|x|. שים לב לתחום ההגדרה.
תשובה סופית: -1/2 x^(-2) - x^(-1) + ln|x| + C תחום: x ≠ 0
∫ f(x) dx = ∫ x^(-3) dx + ∫ x^(-2) dx + ∫ 1/x dx = -1/2 x^(-2) - x^(-1) + ln|x| + C תחום ההגדרה: x ≠ 0
הבנת חוק האינטגרציה עבור החזקה -1
להשתמש באינטגרציה על פי פונקצית הלוגריתם הטבעי עם ערך מוחלט
INT 1/x dx = ln(abs(x)) + C∫ 1/x dx = ln|x| + C(1)/(x) dx = |x| + Cמציבים את הנתונים במשוואה.
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
מזהים ש-x לא יכול להיות אפס
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
מבינים שהפונקציה היא 1/x
למה
מאפשר לזהות שאנחנו מתמודדים עם מקרה של חזקה -1
זכור שזו פונקציה מיוחדת שדורשת טיפול שונה
בחירת שיטה
מה עושים
יודעים שאינטגרציה של 1/x היא ln|x| + C
למה
כי אינטגרל כל חזקת x למעט למינוס 1 שונה מחזקה -1
החלק הקריטי הוא לזכור להוסיף ערך מוחלט
בניית משוואה
מה עושים
נכתוב ∫ 1/x dx = ln|x| + C
למה
זהו הייצוג המתמטי שמוביל לתוצאה
נוסחה / הצבה
INT 1/x dx = ln(abs(x)) + C∫ 1/x dx = ln|x| + C(1)/(x) dx = |x| + Cשים לב שה-ln לוקח ערך מוחלט על x
בדיקה
מה עושים
מזהים ש-x לא יכול להיות אפס
למה
כי חלוקה באפס אינה מוגדרת ולא ניתן לחשב אינטגרל כזה
הוסף תמיד הערת זהירות לגבי תחום ההגדרה
תשובה
מה עושים
∫ 1/x dx = ln|x| + C
למה
וזה הפתרון הסופי, נכון בתחום שמוגדר.
השתמש בנוסחה זו בפונקציות דומות