וידאו · אינטגרלים
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על חישוב נפח גוף סיבוב באמצעות אינטגרלים, עיקרון סיבוב שטח סביב ציר x והסקת נוסחת הנפח המושתת על אינטגרל של ריבוע הפונקציה.
- להבין מהו נפח גוף סיבוב
- ליישם נוסחת אינטגרל לנפח גוף סיבוב
- לחשב נפח של גוף סיבוב לפונקציות נתונות
- להבדיל בין חישוב שטח לחישוב נפח גוף סיבוב
- הכרת אינטגרל שטח בין חסמים: דרך חישוב השטח תחת פונקציה בין נקודות a ו-b באמצעות פונקציה בין נפרד.
- הפיכת שטח לנפח גוף סיבוב: סיבוב שטח מסביב לציר x מייצר גוף סיבוב הנפח שלו מחושב באמצעות אינטגרל של ריבוע הפונקציה במכפיל פי.
תרגול קצר
חישוב נפח גוף סיבוב של פונקציה יחידה
רמת קושי: קל
חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב הגרף של y = x סביב ציר x בין x=0 ל-x=2.
רמז: חשוב לכתוב את נוסחת נפח גוף הסיבוב: פי כפול אינטגרל של ריבוע הפונקציה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 8 / 3
נפח = 0 2 (x)^2 x = 0 2 x^2 x = [ x^3/3 ] 0 2 = (8/3 - 0) = 8/3
נפח גוף סיבוב בין שתי פונקציות
רמת קושי: בינוני
לחשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמוגבל בגרפים y = 5x ו-y = x סביב ציר x בין x=0 ל-x=1.
רמז: נפח הוא פי כפול האינטגרל מ-0 עד 1 של ההפרש בין ריבועי הפונקציות.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2
הפרש בין ריבועי הפונקציות: ( 5x )^2 - ( x )^2 = 5x - x = 4x נפח = 0 1 4x x = [ 2x^2 ] 0 1 = (2 - 0) = 2
דרך הפתרון
חישוב נפח גוף סיבוב בין שתי פונקציות
לדוגמה y = שורש 5x ו-y = שורש x בין 0 ל-1 סביב ציר x
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נפח גוף הסיבוב
- נתון 1
נתון 1
y = שורש 5x - נתון 2
נתון 2
y = שורש x - נתון 3
תחום x מ-0 עד 1
- רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בנוסחת נפח גוף הסיבוב עם אינטגרל של ההפרש בין ריבועי הפונקציות.
- נוסחה
נחשב את ההפרש בין ריבועי הפונקציות
5x - x = 4x - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב את האינטגרל מ-0 עד 1 של 4x
חשב את האינטגרל מ-0 עד 1 של 4x
אינטגרל 4x מ-0 עד 1 = 2אינטגרל 4x dx = 2x^2
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים בסיסיים
זיהוי נתונים
נתונים בסיסיים
מה עושים
יודעים את הפונקציות והחסמים מ-0 עד 1
למה
נדרש לדעת את תחום האינטגרציה והפונקציות בהרכבת הנפח
נתון פונקציות y = שורש 5x ו-y = שורש x בתחום x=0 עד 1.
2בחירת שיטה
נחישוב ריבוע הפונקציות
בחירת שיטה
נחישוב ריבוע הפונקציות
מה עושים
מעלים כל פונקציה בריבוע בנפרד
למה
נדרש ריבוע הפונקציות לפי נוסחת נפח גוף הסיבוב
שורש 5x בריבוע הוא 5x, שורש x בריבוע הוא x.
נוסחה / הצבה
(שורש 5x)^2 = 5x(שורש x)^2 = x(5x)^2 = 5x(x)^2 = xאין לערבב ריבוע עם חיבור או חיסור לפני הפעלת הריבוע.
3בניית משוואה
נבנה פונקציית האינטגרנד
בניית משוואה
נבנה פונקציית האינטגרנד
מה עושים
נחשב את ההפרש בין ריבועי הפונקציות
למה
הנפח הוא פי פעמי האינטגרל של ההפרש
נבצע חיסור: 5x - x = 4x.
נוסחה / הצבה
5x - x = 4xזכור שבאינטגרל הפונקציות בריבוע נפרדות וחושב ההפרש.
4פתרון
חשב אינטגרל
פתרון
חשב אינטגרל
מה עושים
חשב את האינטגרל מ-0 עד 1 של 4x
למה
האינטגרל נותן סכימה של כל קטעי הנפח
אינטגרל של 4x dx הוא 2x^2, בין 0 ל-1.
נוסחה / הצבה
אינטגרל 4x מ-0 עד 1 = 2אינטגרל 4x dx = 2x^2נחשב מ-0 עד 1: 2(1)^2 - 2(0)^2 = 2_0^1 4x dx = [2x^2]_0^1 = 2אינטגרל של x^n הוא x^{n+1} חלקי n+1.
5פתרון
כפול פי
פתרון
כפול פי
מה עושים
כפול פי לקבלת נפח סופי
למה
נוסחת נפח כוללת פי כמכפיל סופי
נפח = פי כפול 2 = 2 .
נוסחה / הצבה
נפח = 2 פינפח = 2 V = 2אל תשכח להכפיל בפאי בסוף.
פתרונות כלליים
- חישוב נפח גוף סיבוב של פונקציה יחידה: נפח = 0 2 (x)^2 x = 0 2 x^2 x = [ x^3/3 ] 0 2 = (8/3 - 0) = 8/3
- נפח גוף סיבוב בין שתי פונקציות: הפרש בין ריבועי הפונקציות: ( 5x )^2 - ( x )^2 = 5x - x = 4x נפח = 0 1 4x x = [ 2x^2 ] 0 1 = (2 - 0) = 2