וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן
ב1. אינטגרל נפח גוף סיבוב
אינטגרל בסיסי של a בחזקת x
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל \( \int 3^{x} dx \).
רמז: השתמש בנוסחה של אינטגרל פונקציית חזקת a.
תשובה סופית: 3^{x} \over \ln(3) + C
האינטגרל של 3 בחזקת x הוא 3 בחזקת x חלקי ln(3) פלוס C.
אינטגרל של a^{kx+b}
רמת קושי: בינוני
חשב את האינטגרל \( \int 2^{2x+1} dx \).
רמז: זהה את k ואת b, חלק ב-k כפול ln(a).
תשובה סופית: \frac{2^{2x+1}}{2 \ln(2)} + C
האינטגרל הוא \( \frac{2^{2x+1}}{2 \ln(2)} + C \).
אינטגרל מורכב כפולות מעריכיות
רמת קושי: מאתגר
חשב את האינטגרל \( \int (3 \cdot 2^{x} + 5 \cdot 3^{2x-3}) dx \).
רמז: חשב כל אינטגרל בנפרד, שמור על המקדמים, וחלק ב-ln של הבסיס ולפי k במשתנה.
תשובה סופית: 3 \frac{2^{x}}{\ln(2)} + 5 \frac{3^{2x-3}}{2\ln(3)} + C
האינטגרל \( = 3 \int 2^{x} dx + 5 \int 3^{2x-3} dx \) \( = 3 \cdot \frac{2^x}{\ln(2)} + 5 \cdot \frac{3^{2x-3}}{2\ln(3)} + C \)
אינטגרל של פונקציה מעריכית עם מקדם
רמת קושי: בגרות
חשב את האינטגרל \( \int 3 e^{4x-1} dx \).
רמז: רשום ישר, וחלק ב-4 המקדם החופף ל-x.
תשובה סופית: \frac{3}{4} e^{4x-1} + C
האינטגרל הוא \( 3 \times \frac{e^{4x-1}}{4} + C \).
דוגמה: אינטגרל של 3×2^x + 5×3^{2x-3}
פונקציה: f(x) = 3 × 2^x + 5 × 3^(2x - 3)לחלק את האינטגרל לטורים, לחשב כל אינטגרל לפי התבנית, ולשמור על המקדמים וחלוקות ב-ln וב-k
אינטגרל של a^(kx+b) שווה a^(kx+b) חלקי (k כפול ln של a) ועוד Cהאינטגרל של a בחזקת (kx+b)a^(kx+b) dx = (a^(kx+b))/(k (a)) + Cמציבים את הנתונים במשוואה.
יש לפרק את הפונקציה לשני טורים נפרדים
מבדיקים שגזירת התוצאה מחזירה לפונקציה המקורית
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
יש לפרק את הפונקציה לשני טורים נפרדים
למה
כי אינטגרל של סכום שווה לסכום האינטגרלים
f(x) = 3 × 2^x + 5 × 3^{2x - 3} משמש כבסיס לחישוב
זכור: אינטגרל של סכום = סכום האינטגרלים
בחירת שיטה
מה עושים
מאחדים את התבניות עבור כל טור בצורת a^(kx+b)
למה
כדי להשתמש בנוסחה הכללית לאינטגרל מעריכי
באינטגרל של a^(kx+b) מחלקים ב-k ln(a)
שימו לב למקדמים ולאימוץ נכון של החזקות
בניית משוואה
מה עושים
רושמים את הנוסחה \( \int a^{kx+b} dx = \frac{a^{kx+b}}{k \ln(a)} + C \)
למה
זו הנוסחה שיש להשתמש בה בחישוב
הנוסחה מתאימה לכל טור של הפונקציה
נוסחה / הצבה
אינטגרל של a^(kx+b) שווה a^(kx+b) חלקי (k כפול ln של a) ועוד Cהאינטגרל של a בחזקת (kx+b)a^(kx+b) dx = (a^(kx+b))/(k (a)) + Cהקפידו לחשב נכון את k ואת ln(a)
פתרון
מה עושים
מחשבים כל חלק בנפרד ומוסיפים מקדמים
למה
כדי לקבל את התוצאה הכוללת
\( 3 \times \frac{2^{x}}{\ln(2)} + 5 \times \frac{3^{2x-3}}{2 \ln(3)} + C \)
מתקן את חלוקת החזקות בהתאם ל-k
בדיקה
מה עושים
מבדיקים שגזירת התוצאה מחזירה לפונקציה המקורית
למה
וידוא נכונות החישוב
גזירת \( 3 \frac{2^{x}}{\ln(2)} \) מחזירה \( 3 \times 2^x \) וגזירת החלק השני מחזירה לחלק השני של הפונקציה
תמיד כדאי לבדוק ע"י נגזרת
תשובה
מה עושים
רושמים את התוצאה המלאה עם הקבוע C
למה
זו התוצאה שעל התלמיד להגיש
\( \int (3 \cdot 2^{x} + 5 \cdot 3^{2x-3}) dx = 3 \frac{2^{x}}{\ln(2)} + 5 \frac{3^{2x-3}}{2\ln(3)} + C \)
זכור להוסיף את C בתוצאה בכל אינטגרל