וידאו · פונקציה זוגית ואי זוגית
א3. פונקצית שורש תחום הגדרה והחלטה על זוגית או אי זוגית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בקביעת תחום ההגדרה של פונקציה הכוללת שורשים ורציונליים והוכחה האם הפונקציה זוגית או אי זוגית.
- הבנת תחום ההגדרה בפונקציות שורש
- קביעת תחום ההגדרה במקרים של פונקציות מורכבות עם שכפולים של אי-שוויונות
- הבנת הוכחות לזוגיות או אי זוגיות של פונקציה באמצעות הצבה של x ו- מינוס x
- הבנת השפעת התחום ההגדרה על צורת הגרף
- תחום ההגדרה של פונקציית שורש: הבנת דרישות התחום ההגדרה כאשר יש שני שורשים במונה שרוצים לשמור על אי שוויון חיובי או שווה לאפס
- הוכחת זוגיות או אי זוגיות של פונקציה: הצבת x ו- -x בפונקציה לבדוק האם מתקיימים תנאי הפונקציה הזוגית או האי זוגית
תרגול קצר
קביעת תחום הגדרה לפונקציה עם שורשים
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = שורש x² + x + שורש x² - x. קבעו את תחום ההגדרה שלה.
רמז: בדקו את תחום ההגדרה של כל שורש בנפרד ואז מצאו את החיתוך ביניהם.
פתרון מלא
תשובה סופית: x בקטע [-1, 0] או x≥1
1. עבור השורש הראשון: x² + x ≥ 0 2. עבור השורש השני: x² - x ≥ 0 3. חשבו מתי כל אי שוויון מתקיים: - x² + x ≥ 0 מתקיים ל- x ≤ -1 או x ≥ 0 - x² - x ≥ 0 מתקיים ל- x ≤ 0 או x ≥ 1 4. תחום ההגדרה הוא החיתוך של התחומים הללו: כלומר, x ∈ [-1,0] ∪ [1,∞) 5. בדקו נקודות הקצה אם הן כלולות בתחום (0 וכלול). 6. התוצאה: תחום ההגדרה הוא x ∈ [-1,0] ∪ [1,∞)
הוכחת אי זוגיות פונקציה
רמת קושי: בינוני
בהינתן הפונקציה f(x) = שורש x² - x - שורש x² + x, הוכיחו שהפונקציה היא אי זוגית.
רמז: החליפו את x ב- (-x) ובדקו אם מתקיים f(-x) = -f(x).
פתרון מלא
תשובה סופית: f היא פונקציה אי זוגית
1. כתבו את f(-x) = שורש (-x)² - (-x) - שורש (-x)² + (-x) 2. פשטו: זה שווה שורש x² + x - שורש x² - x 3. שימו לב שפה קיבלתם בדיוק -f(x) 4. לפיכך, f(-x) = -f(x), כך שהפונקציה היא אי זוגית.
דרך הפתרון
מפת פתרון: קביעת תחום ההגדרה לפונקציית שורש עם שני שורשים
קביעת תחום ההגדרה של f(x) = שורש (x² + x) + שורש (x² - x)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של f(x)
- נתון 1
נתון 1
f(x) = שורש (x² + x) + שורש (x² - x) - נתון 2
נקודת חיתוך בין תחומי ההגדרה של שני השורשים
- רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא תחום הגדרה לכל שורש בנפרד ולאחר מכן נמצא את החיתוך בין התחומים.
- נוסחה
הפנים כי הביטוי מתחת לשורש הראשון הוא x² + x ≥ 0.
x^2 + x >= 0x² + x ≥ 0 - משוואה
פתרו את שני אי השוויונות בנפרד.
פתרו את שני אי השוויונות בנפרד.
- פישוט
מצאו את החיתוך בין התחומים: ( -∞, -1] ∪ [0, ∞ ) ו ( -∞, 0 ] ∪ [1, ∞ )
מצאו את החיתוך בין התחומים: ( -∞, -1] ∪ [0, ∞ ) ו ( -∞, 0 ] ∪ [1, ∞ )
- תוצאה
מסיימים בתשובה
נקבע שהתחום הוא x בשני הקטעים [-1,0] ו-[1,∞).
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת השורש הראשון
זיהוי נתונים
הגדרת השורש הראשון
מה עושים
הפנים כי הביטוי מתחת לשורש הראשון הוא x² + x ≥ 0.
למה
שורש מוגדר רק עבור ערך מתחת לשורש אי שלילי.
נוסחה / הצבה
x^2 + x >= 0x² + x ≥ 0לפתור את אי השוויון לקבלת תחום הגדרה לשורש הראשון.
2זיהוי נתונים
הגדרת השורש השני
זיהוי נתונים
הגדרת השורש השני
מה עושים
הבנת אי השוויון עבור השורש השני: x² - x ≥ 0.
למה
גם כאן השורש מחייב אי שליליות מתחתיו.
נוסחה / הצבה
x^2 - x >= 0x² - x ≥ 0לפתור את אי השוויון לקבלת תחום הגדרה לשורש השני.
3בחירת שיטה
חישוב תחום ההגדרה המשותף
בחירת שיטה
חישוב תחום ההגדרה המשותף
מה עושים
לחשב את החיתוך של קטעי התחומים ששני השורשים מכסים.
למה
כדי ששני השורשים יהיו מוגדרים בו-זמנית הפתרון צריך להיות בתחום המשותף.
החיתוך הוא התחום בו שני התנאים מתקיימים יחד.
4בניית משוואה
פתרון אי השוויונות
בניית משוואה
פתרון אי השוויונות
מה עושים
פתרו את שני אי השוויונות בנפרד.
למה
זה מאפשר לנו להגדיר את תחומי ההגדרה של שני השורשים.
x² + x ≥ 0 ⇔ x ≤ -1 או x ≥ 0 x² - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 או x ≥ 1
5פתרון
מציאת התחום המשותף
פתרון
מציאת התחום המשותף
מה עושים
מצאו את החיתוך בין התחומים: ( -∞, -1] ∪ [0, ∞ ) ו ( -∞, 0 ] ∪ [1, ∞ )
למה
תחום ההגדרה המצטלב הוא שבו שני התנאים מתקיימים.
החיתוך הוא [−1,0] ∪ [1,∞)
שימו לב שהאזור (0,1) לא כלול כי לא עונה על שני התנאים בו זמנית.
6תשובה
תחום ההגדרה הסופי
תשובה
תחום ההגדרה הסופי
מה עושים
נקבע שהתחום הוא x בשני הקטעים [-1,0] ו-[1,∞).
למה
רק באזורים אלה שני השורשים מוגדרים יחד.
זכרו לכלול את נקודות הקצה שסיפקו פתרון שווה.
פתרונות כלליים
- קביעת תחום הגדרה לפונקציה עם שורשים: 1. עבור השורש הראשון: x² + x ≥ 0 2. עבור השורש השני: x² - x ≥ 0 3. חשבו מתי כל אי שוויון מתקיים: - x² + x ≥ 0 מתקיים ל- x ≤ -1 או x ≥ 0 - x² - x ≥ 0 מתקיים ל- x ≤ 0 או x ≥ 1 4. תחום ההגדרה הוא החיתוך של התחומים הללו: כלומר, x ∈ [-1,0] ∪ [1,∞) 5. בדקו נקודות הקצה אם הן כלולות בתחום (0 וכלול). 6. התוצאה: תחום ההגדרה הוא x ∈ [-1,0] ∪ [1,∞)
- הוכחת אי זוגיות פונקציה: 1. כתבו את f(-x) = שורש (-x)² - (-x) - שורש (-x)² + (-x) 2. פשטו: זה שווה שורש x² + x - שורש x² - x 3. שימו לב שפה קיבלתם בדיוק -f(x) 4. לפיכך, f(-x) = -f(x), כך שהפונקציה היא אי זוגית.