MMATH
התחברות

וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
3 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג1. חקירה מלאה של של פולינום עם פיתול

וידאו

ג2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ג3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ד1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם פיתול

וידאו

ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול

וידאו

ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית

וידאו

ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד במעקב אחר הפונקציה המקורית, הנגזרת הראשונה והשנייה שלה, תוך הדגמה של נקודות קיצון ופיתול והקשר ביניהם.
  • להבין כיצד לגזור פונקציית מנה
  • להכיר את הקשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה והשנייה שלה
  • לזהות נקודות קיצון ופיתול בגרפים
  • להבין את משמעות חיתוך הנגזרת עם ציר ה-x
  • להכיר את מושג האסימפטוטות בהקשר לפונקציה ולנגזרותיה
  • גזירת פונקציית מנה: הוסבר כיצד לגזור פונקציית מנה ולהיות זהירים בסימונים ובחישובים.
  • קשר בין הנגזרת לפונקציה המקורית: נתחנו כיצד נקודות קיצון בפונקציה קשורות לחיתוך הנגזרת עם ציר ה-x.
  • נקודות פיתול ונגזרת שנייה: הודגש שהנגזרת השנייה מצביעה על נקודות פיתול בפונקציה המקורית.

תרגול קצר

גזירת פונקציית מנה בסיסית

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה y = (3x^2 - 8x) / (x^2 + 3)

נגזרתפונקציית מנהבסיסי

רמז: השתמש בכלל מנה: הנגזרת היא (u'v - uv') / v^2

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = [(6x - 8)(x^2 + 3) - (3x^2 - 8x)(2x)] / (x^2 + 3)^2

u = 3x^2 - 8x, u' = 6x - 8 v = x^2 + 3, v' = 2x לכן y' = [(6x - 8)(x^2 + 3) - (3x^2 - 8x)(2x)] / (x^2 + 3)^2 יש לפשט את הביטוי

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

שרטוט הנגזרת של פונקציית מנה

לימוד צעד-אחר-צעד כיצד לגזור ולשרטט y'

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הנגזרת הראשונה y' של הפונקציה

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = (3x^2 - 8x) / (x^2 + 3)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בכלל הגזירה לפונקציית מנה ונפתח את הביטוי לייצוג מפורש של y'

  4. נוסחה

    זהה u ו-v ואת הנגזרות שלהם

    u = 3x^2 - 8xu' = 6x - 8v = x^2 + 3v' = 2xu = 3x^(2) - 8x
  5. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  6. פישוט

    פתח כל מכפלה ופשט את המונה

    פתח כל מכפלה ופשט את המונה

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    ציין את הנגזרת בצורה מפורשת

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הכרת פונקציית המנה ונגזרותיה
    • הבנת כלל הגזירה של מנה
    • זהירות: דילוג על סימני מינוס בתהליך הגזירה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדר את הפונקציה והנגזרות שלה

מה עושים

זהה u ו-v ואת הנגזרות שלהם

למה

כדי להשתמש בכלל המנה יש צורך בנגזרות u' ו-v'

u = 3x^2 - 8x v = x^2 + 3 u' = נגזרת של u היא 6x - 8 v' = נגזרת של v היא 2x

נוסחה / הצבה

u = 3x^2 - 8xu' = 6x - 8v = x^2 + 3v' = 2xu = 3x^(2) - 8x

שמור על סדר נכון של נגזרות וערכים

2

בחירת שיטה

השתמש בכלל המנה

מה עושים

חשב את הנגזרת לפי הנוסחה y' = (u'v - uv') / v²

למה

זה הכלל לגזירת מנה של שתי פונקציות

y' = [(6x - 8)(x^2 + 3) - (3x^2 - 8x)(2x)] / (x^2 + 3)^2

נוסחה / הצבה

y' = (u'v - uv') / v^2y' = (u'v - uv')/(v^2)

הקפד לא לטעות בסימנים!

3

פתרון

פתח ופשט את הביטוי

מה עושים

פתח כל מכפלה ופשט את המונה

למה

פישוט מקל על ניתוח פונקציה ושרטוט הגרפים

פתח את המכפלות במונה וארגן לפי חזקות x

השתמש בכפל וחיבור רגיל עם תרגול אלגברי

4

תשובה

רשום את הביטוי המפושט

מה עושים

ציין את הנגזרת בצורה מפורשת

למה

כך ניתן לשרטט ולנתח את התנהגות הפונקציה

y' = [(6x - 8)(x^2 + 3) - (3x^2 - 8x)(2x)] / (x^2 + 3)^2 לאחר פישוט

לראייה ושרטוט יעיל

פתרונות כלליים

  • גזירת פונקציית מנה בסיסית: u = 3x^2 - 8x, u' = 6x - 8 v = x^2 + 3, v' = 2x לכן y' = [(6x - 8)(x^2 + 3) - (3x^2 - 8x)(2x)] / (x^2 + 3)^2 יש לפשט את הביטוי
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.