וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה
ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה
ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול
ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה
ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית
ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה
הוכח ש-f זוגית → f' אי זוגית
רמת קושי: קל
נתונה פונקציה זוגית f. הוכח שהנגזרת שלה היא פונקציה אי זוגית.
רמז: הפעל נגזרת על שני הצדדים של f(x)=f(−x) והשתמש בכלל השרשרת.
תשובה סופית: f'(−x) = −f'(x) – כלומר, הנגזרת היא פונקציה אי זוגית.
מתחילים מ-f(x)=f(−x). נגזרים משני הצדדים: f'(x) = נגזרת של f(−x). לפי כלל השרשרת: f'(x) = f'(−x) כפול נגזרת פנימית של (−x) שהיא −1. לכן f'(x) = −f'(−x), שזה מגדיר פונקציה אי זוגית.
הוכח ש-f אי זוגית → f' זוגית
רמת קושי: בינוני
נתונה פונקציה אי זוגית f. הוכח שהנגזרת שלה היא פונקציה זוגית.
רמז: החל את כלל השרשרת על f(−x) והפעל על שני הצדדים.
תשובה סופית: f'(−x) = f'(x) – כלומר, הנגזרת היא פונקציה זוגית.
מתחילים מ-f(x) = −f(−x). נגזרים משני הצדדים: f'(x) = −נגזרת של f(−x) = −f'(−x) כפול נגזרת פנימית −1. לכן f'(x) = f'(−x), כלומר הפונקציה זוגית.
שלבים לפתרון הוכחה שימושית בגלגול פונקציות
f פונקציה זוגית כלומר f(x) = f(−x)לגזור את שני הצדדים בהתחשב באופרטור נגזרת ונגזרת פנימית, ולבסס את היחס בין הגזירות.
f(x) = f(-x)f(x) = f(−x)נגזרת של f(−x) היא f'(−x) כפול נגזרת פנימית של −x שהיא −1.
Derivative of f(-x) = f'(-x) times (-1)הנגזרת של f(−x) = f'(−x) כפול (−1)(d)/(dx) f(-x) = f'(-x) * (-1)f'(x) = −f'(−x)
f'(x) = -f'(-x)f'(x) = −f'(−x)מכיוון ש-f'(x) = −f'(−x), נגזרתו של f היא פונקציה אי זוגית.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כתוב את ההגדרה של פונקציה זוגית f(x) = f(−x).
למה
כדי לדעת מה התנאי ההתחלתי שעליו פועלים.
נוסחה / הצבה
f(x) = f(-x)f(x) = f(−x)ההגדרה היא הבסיס להוכחה.
בחירת שיטה
מה עושים
נגזר את שני הצדדים ביחס ל-x.
למה
כדי למצוא את הנגזרת ולהבין את תכונת הזוגיות שלה.
שימוש בכלל השרשרת יידרש.
בניית משוואה
מה עושים
נגזרת של f(−x) היא f'(−x) כפול נגזרת פנימית של −x שהיא −1.
למה
הנגזרת של פונקציה מורכבת מחייבת שימוש בכלל השרשרת.
נוסחה / הצבה
Derivative of f(-x) = f'(-x) times (-1)הנגזרת של f(−x) = f'(−x) כפול (−1)(d)/(dx) f(-x) = f'(-x) * (-1)שימו לב לסימן השלילי בנגזרת הפנימית.
פתרון
מה עושים
f'(x) = −f'(−x)
למה
ניתן לכתוב את הנטייה הזוגית בנגזרת.
נוסחה / הצבה
f'(x) = -f'(-x)f'(x) = −f'(−x)זהו תנאי לפונקציה אי זוגית.
תשובה
מה עושים
מכיוון ש-f'(x) = −f'(−x), נגזרתו של f היא פונקציה אי זוגית.
למה
לפי ההגדרה, פונקציה הסותרת סימנים ערכיים היא אי זוגית.
סיום ההוכחה.