ג1. חקירה מלאה של של פולינום עם פיתול

תשובה סופית: נקודות הפיתול הן ב-x=0, x=1 ו-x=-1.

הנגזרת השנייה היא 60x^3 - 60x = 60x(x^2 - 1). השווה לאפס: 60x(x^2 -1) = 0 => x=0 או x=±1. נקודות הפיתול הן ב-x=0, x=1, x=-1.

תשובה סופית: נקודת מקסימום ב-x=-√2, נקודת מינימום ב-x=√2, ו-x=0 אינה נקודת קיצון.

הנגזרת הראשונה: y' = 15x^4 - 30x^2 = 15x^2(x^2 - 2). פתרון: x=0 או x=±√2. נגזרת שנייה: y''= 60x^3 - 60x. סיווג: עבור x=0: y''=0 עבור x=√2: y''=60(√2)^3 - 60(√2) = חיובי => מינימום עבור x=-√2: y''= שלילי => מקסימום לסיכום: x=√2 מינימום, x=-√2 מקסימום, x=0 נקודת פיתול או נקודה מיוחדת.

תשובה סופית: הפונקציה היא איזוגית. נקודות עקמומיות הן ב-x=0 ו-x=±1.

f(-x) = 3(-x)^5 -10(-x)^3 = -3x^5 + 10x^3 = - (3x^5 - 10x^3) = -f(x) => הפונקציה איזוגית. הנגזרות: כבר מחושבות בשלבים הקודמים. נקודות עקמומיות הן ב-x=0, x=±1 כפי שנמצא מהנגזרת השנייה. מאחר שהפונקציה איזוגית, נקודות אלה משקפות סימטריה גם בניתוח.

תשובה סופית: ניתוח מלא לפי השלבים לעיל, כולל טבלה וסקיצה גרפית משוערת של התנהגות הפונקציה.

תחום הגדרה: כל x ממשי. חיתוך עם ציר ה-y: ב-x=0, y=0. חיתוך עם ציר ה-x: 3x^5 - 10x^3=0 => x^3(3x^2 -10)=0 => x=0 או x=±√(10/3). נגזרת ראשונה: y' = 15x^4 -30x^2 = 15x^2(x^2 -2). נקודות קיצון ב-x=0 וב-x=±√2. סיווג נקודות קיצון עם הנגזרת השנייה y''=60x^3 -60x. תחומי עליה וירידה לפי סימני הנגזרת הראשונה. נקודות פיתול ב-x=0 ו-x=±1. סקיצה: עליות וירידות בהתאם בטבלה, נקודות קיצון ופיתול מסומנות.