וידאו · אי שוויון
א3. פתרון אי שוויון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בשיטות לפתרון אי שוויונות פולינומיאליים ולוגריתמיים באמצעות שיטת האינטרוול (שיטת הקטעים), פתרון משוואות על ידי שוויון לאפס, ושימוש במחשבון להצבת ערכים כדי לקבוע סימני הביטוי במקטעים שונים.
- להבין ולהשתמש בשיטת האינטרוול לפתרון אי שוויונות
- לזהות את נקודות האפס של ביטויים פולינומיאליים ולפתור משוואות קטנות
- להשתמש במחשבון להצבת ערכים ובדיקת סימני הביטוי
- להתמודד עם אי שוויונות המכילים פונקציות לוגריתמיות
- לכתוב את פתרון האי שוויון כסכום תחומים בהתאם לסימני הביטוי
- הקדמה לאי שוויונות פולינומיאליים: הצגת אי שוויון הכולל מכפלה של ביטויים פולינומיאליים, שימוש בנקודות האפס לגזירת קטעים וניתוח סימני הביטוי בכל קטע.
- שימוש במחשבון לפתרון אי שוויונות: הדגמה מעשית של הצבת ערכים במחשבון כדי לבדוק את סימן הביטוי בכל תחום ולסמן פלוס או מינוס בהתאם.
- אי שוויונות לוגריתמיים: פתרון אי שוויונות שבהם מופיעות פונקציות לוגריתמיות באמצעות פתרון משוואות קטנות וחישוב ערכי הלוגריתם באמצעות מחשבון.
תרגול קצר
פתור אי שוויון פולינומיאלי פשוט
רמת קושי: קל
פתור את האי שוויון (x-2)(x-3)(x-4) <= 0 בעזרת שיטת האינטרוול.
רמז: מצא את נקודות האפס 2, 3 ו-4, חלק את המספרים לפי קטעים ובדוק סימני הביטוי בכל קטע.
פתרון מלא
תשובה סופית: x \in [2,4]
נמצא את נקודות האפס: 2, 3, 4. נחלק את הציר לקטעים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞). נבחר נקודות בדיקה בכל קטע ונבדוק סימן הביטוי. הפתרון הוא כל האזור שהביטוי קטן או שווה לאפס, כולל הנקודות 2, 3 ו-4.
פתור אי שוויון עם פולינום ומכפלה
רמת קושי: בינוני
פתור את האי שוויון (x^2 -4x +4)(x-2) <= 0.
רמז: מצא את נקודות האפס של כל גורם, חלק את התחום ובדוק את סימני הביטוי.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 2
נפתור x^2 -4x +4 = 0 ---> (x-2)^2=0 לכן נקודת אפס ב-2 בלבד. נקודות אפס הן x=2 (פי 3 כפולות). נחלק תחום למקטעים (-∞,2), (2,∞). נבדוק סימן הביטוי בכל קטע. הפתרון יהיה x=2 מכיוון שכפולתו גדולה או שווה לאפס.
פתור אי שוויון לוגריתמי
רמת קושי: מאתגר
פתור את אי השוויון E^x - 2 * 5^x - 3 < 0.
רמז: השתמש בלוגריתם והחלף את x כדי לקבל תחומים המתאימים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x בין log בסיס 5 של 3 ל-2
נגדיר פונקציה f(x) = E^x - 2 * 5^x - 3. נמצא נקודות אפס על ידי פתרון f(x)=0, דרך שימוש בלוגריתם, ונבדוק את סימני הביטוי בתחומים שיצאו.
פתרון אי שוויון פולינומיאלי עם שיטת האינטרוול
רמת קושי: בגרות
פתור את אי השוויון (x^2 - 4x +4)(x-2)(x-3) <= 0.
רמז: מצא נקודות איפוס, חלק את המספרים לאינטרוולים, בדוק את סימני הביטויים ובחר את התחומים המתאימים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2 <= x <= 3
נקודות איפוס הן 2,3. הפולינום x^2 -4x +4 = (x-2)^2, אפס בנקודה 2. חלוקה לאינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,∞). בדיקת סימנים נותנת פתרון x בין 2 ל-3 כולל קצותיו.
דרך הפתרון
פתרון אי שוויון פולינומיאלי (x-2)(x-3)(x-4) <= 0
שימוש בשיטת האינטרוול
מפת פתרון
- מטרה
למצוא קבוצת ה-x שמקיימים את האי שוויון
- נתון 1
האקספרסיה (x-2)(x-3)(x-4)
- נתון 2
אי שוויון קטן או שווה לאפס
- רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא נקודות איפוס, לחלק את הציר לקטעים, לבדוק סימנים ולרשום את התוצאה בהתאם.
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
חלק את מישור המספרים לקטעים לפי הנקודות 2,3,4
חלק את מישור המספרים לקטעים לפי הנקודות 2,3,4
- פישוט
בחר מספר בכל תחום והציב בביטוי המקורי כדי לבדוק אם התוצאה חיובית או
בחר מספר בכל תחום והציב בביטוי המקורי כדי לבדוק אם התוצאה חיובית או שלילית
- תוצאה
מסיימים בתשובה
סכם את תחומי ה-x שבהם הביטוי מתקיים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הצג את האי שוויון
זיהוי נתונים
הצג את האי שוויון
מה עושים
כתוב את האי שוויון (x-2)(x-3)(x-4) שווה או קטן ל-0
למה
כדי להבין מה הפונקציה ומה הנדרש לפתור
יש לנו מכפלה של שלושה ביטויים שעושים אפס ב-2,3 ו-4.
2בחירת שיטה
מצא את נקודות האיפוס
בחירת שיטה
מצא את נקודות האיפוס
מה עושים
מצא מתי כל גורם שווה לאפס
למה
נקודות אלו מחלקות את הציר לקטעים מבחינת סימני הביטוי
הגורמים מתאפשים ב-x=2, x=3, x=4.
רחוק מהנקודות הללו הביטוי שומר על סימנו בתוך כל קטע.
3בניית משוואה
חלק את הציר לקטעים
בניית משוואה
חלק את הציר לקטעים
מה עושים
חלק את מישור המספרים לקטעים לפי הנקודות 2,3,4
למה
כל קטע ייבדק בנפרד
הקטעים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞)
4פתרון
בדוק סימן בבדיקה בנקודה בכל קטע
פתרון
בדוק סימן בבדיקה בנקודה בכל קטע
מה עושים
בחר מספר בכל תחום והציב בביטוי המקורי כדי לבדוק אם התוצאה חיובית או שלילית
למה
להבין באילו תחומים הביטוי קטן או שווה לאפס
לדוגמה: ב-1 הביטוי חיובי, ב-2.5 שלילי, ב-3.5 חיובי וכן הלאה.
אפשר להשתמש במחשבון כדי לחשב במהירות.
5תשובה
רשום את הפתרון
תשובה
רשום את הפתרון
מה עושים
סכם את תחומי ה-x שבהם הביטוי מתקיים
למה
זו התשובה לסוגיה
התשובה היא x בקטע [2,4] שבו הביטוי קטן או שווה לאפס.
פתרונות כלליים
- פתור אי שוויון פולינומיאלי פשוט: נמצא את נקודות האפס: 2, 3, 4. נחלק את הציר לקטעים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞). נבחר נקודות בדיקה בכל קטע ונבדוק סימן הביטוי. הפתרון הוא כל האזור שהביטוי קטן או שווה לאפס, כולל הנקודות 2, 3 ו-4.
- פתור אי שוויון עם פולינום ומכפלה: נפתור x^2 -4x +4 = 0 ---> (x-2)^2=0 לכן נקודת אפס ב-2 בלבד. נקודות אפס הן x=2 (פי 3 כפולות). נחלק תחום למקטעים (-∞,2), (2,∞). נבדוק סימן הביטוי בכל קטע. הפתרון יהיה x=2 מכיוון שכפולתו גדולה או שווה לאפס.
- פתור אי שוויון לוגריתמי: נגדיר פונקציה f(x) = E^x - 2 * 5^x - 3. נמצא נקודות אפס על ידי פתרון f(x)=0, דרך שימוש בלוגריתם, ונבדוק את סימני הביטוי בתחומים שיצאו.
- פתרון אי שוויון פולינומיאלי עם שיטת האינטרוול: נקודות איפוס הן 2,3. הפולינום x^2 -4x +4 = (x-2)^2, אפס בנקודה 2. חלוקה לאינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,∞). בדיקת סימנים נותנת פתרון x בין 2 ל-3 כולל קצותיו.