וידאו · נקודות קיצון
א4. מציאת קיצון על פונקצית מנה עם שורש
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בזיהוי תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה, שימוש בטריקים אלגבריים לפישוט ביטויים וסימון תחום ההגדרה על ציר המספרים, ובהבנת מצבים בהם אין נקודות קיצון.
- להבין כיצד לזהות תחום הגדרה של פונקציה עם מכנה ושורש
- להכיר טריקים אלגבריים בסיסיים לפישוט ביטויים עם שורש במכנה
- לדעת לבחון מגבלות תחום ההגדרה לצורך פתרון משוואות נגזרת
- להבין מתי אין נקודות קיצון ומתי יש צורך לבדוק זאת במפורש
- תחום ההגדרה בפונקציה עם שורש ומכנה: חשיבות הגבלת התחום בגלל מכנה ושורש, המכנה חייב להיות שונה מאפס, הביטוי תחת השורש חייב להיות גדול או שווה לאפס, ובמיוחד אם השורש נמצא במכנה הוא חייב להיות גדול מאפס.
- שימוש בטריק שורש כפול שורש לפישוט: כאשר קיימים ביטויים עם שורש בביטוי אלגברי, כדאי לפרק את השורש כסכום של שורש כפול שורש, וכך להוציא גורמים משותפים לצורך פישוט המשוואה.
- בחינת פתרונות המשוואה ומסקנות על נקודות קיצון: לא כל פתרון משוואה מתקבל בתחום ההגדרה ולכן יש לבדוק את תחום ההגדרה אחר כך. כאשר אין פתרונות בתחום ההגדרה הנגזרת אינה מתאימה ונקודות קיצון לא קיימות.
תרגול קצר
בדיקת תחום הגדרה של פונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: קל
מבחר את תחום ההגדרה של הפונקציה: f(x) = (x+1)/(שורש x).
רמז: המכנה חייב להיות שונה מאפס וגם הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x > 0.
הביטוי תחת השורש הוא x, לכן x גדול או שווה לאפס. בנוסף, מפני שהשורש נמצא במכנה, הביטוי חייב להיות גדול מ-0 (ולא גדול שווה) כדי למנוע חילוק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא x > 0.
פישוט משוואה עם שורשים במכנה
רמת קושי: בינוני
פשט את הביטוי: (6 שורש x - 3 x) / (3 שורש x)
רמז: פרק את x לשורש x כפול שורש x והוצא גורם משותף.
פתרון מלא
תשובה סופית: הביטוי מפושט ל-1.
נכתב 3x כשורש x כפול שורש x. לאחר הוצאת גורם משותף הביטוי מצטמצם ל- (6 שורש x - 3 שורש x בעצמו) / (3 שורש x) = (3 שורש x) / (3 שורש x) = 1, כלומר פישוט נכון.
מציאת תחום ההגדרה ונקודות קיצון של פונקציה מורכבת
רמת קושי: מאתגר
פונקציה f מוגדרת על ידי המנה: f(x) = (2x + 1) / שורש (x - 4). מצא את תחום ההגדרה ואם קיימות נקודות קיצון, סמנן.
רמז: תחום ההגדרה נקבע מהשורש ומהמכנה. לאחר מציאת תחום ההגדרה גזור את הפונקציה ובדוק נקודות קריטיות בתוך התחום.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x > 4. אין נקודות קיצון.
ראשית, הביטוי תחת השורש חייב להיות גדול מ-0, כלומר x - 4 > 0 → x > 4. השורש במכנה, לכן x > 4. תחום ההגדרה הוא (4, ∞). לאחר גזירה ובדיקת הנגזרת בתחום לא מתקבלות נקודות קיצון. לפיכך, אין נקודות קיצון בפונקציה.
בחן תחום הגדרה ונקודות קיצון במידת הצורך
רמת קושי: בגרות
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = (3x + 5) / שורש (x^2 - 5x + 6). במידה וקיימות נקודות קיצון, סמן אותן.
רמז: פרק את הביטוי תחת השורש לגורמים, מצא את תחום ההגדרה על פי תנאי השורש והמכנה, אחר כך בדוק את נגזרת הפונקציה.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x<2 או x>3. אין נקודות קיצון.
הביטוי תחת השורש הוא x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3). תנאי השורש: הביטוי > 0 והשורש במכנה מחייב את הביטוי להיות חיובי, כלומר x^2 - 5x + 6 > 0, אז x<2 או x>3. תחום ההגדרה הוא (-∞,2)∪(3,∞). במידה ויש נקודות קיצון, הן הן נמצאות בתחום זה, אך לאחר בדיקה נגזרת ומחקר בתחום לא קיימות נקודות קיצון בפונקציה.
דרך הפתרון
כיצד למצוא תחום הגדרה ונקודות קיצון של פונקציה עם שורש במכנה
דוגמה לפונקציה: f(x) = (2x + 1) / שורש(x - 4)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / נקודות קיצון במידה וקיימות
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה: f(x) = (2x + 1) / שורש(x - 4) - נתון 2
שורש במכנה, כלומר הביטוי תחת השורש לא יכול להיות אפס או שלילי
- רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק תחום הגדרה מהשורש שבמכנה, נבצע גזירה, ואז נבדוק נקודות קריטיות בתחום ההגדרה.
- נוסחה
הביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי
x - 4 > 0 - משוואה
חשב את הנגזרת של הפונקציה בתחום ההגדרה
חשב את הנגזרת של הפונקציה בתחום ההגדרה
Y' - פישוט
מצא את נקודות ה-x שבהן Y' = 0
מצא את נקודות ה-x שבהן Y' = 0
Y' = 0 - תוצאה
מסיימים בתשובה
וודא שהפתרונות שקיבלת שייכים לתחום ההגדרה x > 4
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
קביעת תנאי תחום ההגדרה
זיהוי נתונים
קביעת תנאי תחום ההגדרה
מה עושים
הביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי
למה
השורש נמצא במכנה ולכן הביטוי מתחת לשורש חייב להיות גדול מ-0 כדי למנוע חילוק באפס
x - 4 > 0
נוסחה / הצבה
x - 4 > 0אסור שהמכנה יהיה 0 או שלילי
2בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
מה עושים
פשטו את אי השיוויון שנתקבל
למה
כך נקבל את כל הערכים המותרים ל-x
x > 4
נוסחה / הצבה
x > 4תחום ההגדרה הוא כל x גדול מ-4
3בניית משוואה
גזירת הפונקציה
בניית משוואה
גזירת הפונקציה
מה עושים
חשב את הנגזרת של הפונקציה בתחום ההגדרה
למה
כדי לזהות נקודות קיצון יש למצוא איפה הנגזרת שווה לאפס
חשב Y' של הפונקציה
נוסחה / הצבה
Y'השתמש בכלל המנה והשרשרת
4פתרון
פתרון המשוואה לנגזרת שווה לאפס
פתרון
פתרון המשוואה לנגזרת שווה לאפס
מה עושים
מצא את נקודות ה-x שבהן Y' = 0
למה
אלו נקודות פוטנציאליות לנקודות קיצון
פתור Y' = 0 בתוך תחום ההגדרה
נוסחה / הצבה
Y' = 0זכור לבדוק אם הפתרונות בתוך התחום
5בדיקה
בדיקת פתרונות בתחום ההגדרה
בדיקה
בדיקת פתרונות בתחום ההגדרה
מה עושים
וודא שהפתרונות שקיבלת שייכים לתחום ההגדרה x > 4
למה
פתרונות מחוץ לתחום אינם רלוונטים
בדוק אם נקודות קריטיות בתחום הגדרה
אם אין פתרונות בתחום, אין נקודות קיצון
6תשובה
הסקת מסקנות
תשובה
הסקת מסקנות
מה עושים
אין נקודות קיצון בתור אין פתרונות בתחום
למה
הנגזרת איננה שווה לאפס בתחום ההגדרה
תחום ההגדרה הוא x > 4 ואין נקודות קיצון
הפונקציה עולה או יורדת באופן רציף בתחומי ההגדרה
פתרונות כלליים
- בדיקת תחום הגדרה של פונקציה עם שורש במכנה: הביטוי תחת השורש הוא x, לכן x גדול או שווה לאפס. בנוסף, מפני שהשורש נמצא במכנה, הביטוי חייב להיות גדול מ-0 (ולא גדול שווה) כדי למנוע חילוק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא x > 0.
- פישוט משוואה עם שורשים במכנה: נכתב 3x כשורש x כפול שורש x. לאחר הוצאת גורם משותף הביטוי מצטמצם ל- (6 שורש x - 3 שורש x בעצמו) / (3 שורש x) = (3 שורש x) / (3 שורש x) = 1, כלומר פישוט נכון.
- מציאת תחום ההגדרה ונקודות קיצון של פונקציה מורכבת: ראשית, הביטוי תחת השורש חייב להיות גדול מ-0, כלומר x - 4 > 0 → x > 4. השורש במכנה, לכן x > 4. תחום ההגדרה הוא (4, ∞). לאחר גזירה ובדיקת הנגזרת בתחום לא מתקבלות נקודות קיצון. לפיכך, אין נקודות קיצון בפונקציה.
- בחן תחום הגדרה ונקודות קיצון במידת הצורך: הביטוי תחת השורש הוא x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3). תנאי השורש: הביטוי > 0 והשורש במכנה מחייב את הביטוי להיות חיובי, כלומר x^2 - 5x + 6 > 0, אז x<2 או x>3. תחום ההגדרה הוא (-∞,2)∪(3,∞). במידה ויש נקודות קיצון, הן הן נמצאות בתחום זה, אך לאחר בדיקה נגזרת ומחקר בתחום לא קיימות נקודות קיצון בפונקציה.