וידאו · נקודות קיצון
א3. מציאת קיצון על פונקצית מנה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה לומדים כיצד למצוא נקודות קיצון בפונקציית מנה באמצעות נגזרת, בדגש על תחום ההגדרה, גזירת פונקציית מנה, פתרון משוואות נגזרת ובדיקת סימני הנגזרת לקבלת סוגי נקודות הקיצון.
- להבין את תחום ההגדרה של פונקציית מנה
- לחשב נגזרת של פונקציית מנה לפי כלל המנה
- לפתור את המשוואה הנגזרת שווה לאפס לשם מציאת נקודות אפשריות
- לבדוק את סימני הנגזרת משני צדדי נקודות הקריטיות
- לקבוע האם הנקודות הן מקסימום או מינימום
- לתרגל שימוש במחשבון לבקרה
- הגדרת פונקציית המנה ותחום ההגדרה: מכנים בפונקציית מנה חייבים להיות שונים מאפס, לכן תחום ההגדרה מוגבל לערכים שבהם המכנה שונה מאפס.
- חישוב נגזרת פונקציית מנה: מחשב את הנגזרת לפי כלל המנה: הנגזרת של המכנה ואומדן המונה במכפלה ובחיסור לפי הנוסחה f'g פחות fg' חלקי g בריבוע.
- פתרון המשוואה ומציאת נקודות קיצון: מסדרים ומפתרים את המשוואה המתקבלת מהנגזרת שווה לאפס כדי למצוא x אפשריים לנקודות קיצון, ובודקים אותם ביחס לתחום ההגדרה.
תרגול קצר
מציאת נקודות קיצון לפונקציית מנה פשוטה
רמת קושי: קל
פונקציית f(x) מוגדרת כ\n f(x) = (2x^2 + 3x -1) / (x - 1).\nמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.
רמז: זכור לבדוק תחום הגדרה: המכנה שונה מאפס. חשב את נגזרת הפונקציה לפי כלל המנה, סדר את המונה ופתור את המשוואה השווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x = 1/2 ו-x = 2 (או לפי פתרון המשוואה הספציפית, יש לבצע חישוב מלא). תחום ההגדרה: x \neq 1.
תחום ההגדרה: x \neq 1. נחשב נגזרת לפי כלל המנה: f'(x) = ((4x + 3)(x - 1) - (2x^2 + 3x - 1)(1)) / (x - 1)^2. פשט את המונה, סדר ופתור את המשוואה למכנה לא אפס ולמחלק בריבוע סבור רק את המונה שווה לאפס. לאחר פתרון קבל ערכים אפשריים ל-x. בדוק סימני נגזרת משני צידי נקודות אלה כדי לקבוע את סוג נקודת הקיצון.
דרך הפתרון
איך למצוא נקודות קיצון על פונקציית מנה
צעד אחר צעד למציאת נקודות קיצון
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות קיצון – ערכי x בהם הנגזרת שווה לאפס
- נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = (x^2 - 5x + 8) על פני המכנה (x - 3) - נתון 2
תחום ההגדרה: x ≠ 3
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב נגזרת לפי כלל המנה, נסדר את המונה, נפתור לאפס, ונבדוק סימנים לקבלת סוג נקודה.
- נוסחה
נגזור את המונה והמכנה וניתן ביטוי למונה הנגזרת.
f' = ((2x - 5)(x - 3) - (x^2 -5x + 8) * 1) / (x -3)^2 - משוואה
נפתח סוגריים, נסדר את הפונקציה ונקבל משוואה ריבועית ב-x.
נפתח סוגריים, נסדר את הפונקציה ונקבל משוואה ריבועית ב-x.
(2x - 5)(x - 3) - (x^2 - 5x + 8) = 0 - פישוט
פיתח וסדר את הפונקציה: 2x^2 - 6x - 5x + 15 - x^2 + 5x - 8 = 0
פיתח וסדר את הפונקציה: 2x^2 - 6x - 5x + 15 - x^2 + 5x - 8 = 0
x^2 - 6x + 7 = 0 - תוצאה
מסיימים בתשובה
f(x) = (x^2 - 5x + 8) חלקי (x - 3)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
תחום ההגדרה של הפונקציה
זיהוי נתונים
תחום ההגדרה של הפונקציה
מה עושים
המכנה שונה מאפס, לכן x ≠ 3.
למה
אין להגדיר את הפונקציה בערך שמאפס את המכנה.
תחום ההגדרה מונע התעלמות מנקודות אי-הגדרה.
2זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
f(x) = (x^2 - 5x + 8) חלקי (x - 3)
למה
זו הפונקציה שעליה נפעל.
הפונקציה מורכבת ממונה ומכנה.
3בחירת שיטה
חישוב נגזרת פונקציית המנה
בחירת שיטה
חישוב נגזרת פונקציית המנה
מה עושים
נחשב את הנגזרת לפי כלל המנה: f'(x) = (f' * g - f * g') / g^2.
למה
מקובל בחישוב נגזרת פונקציית מנה.
נבדוק מתי הנגזרת שווה לאפס לקבלת נקודות קיצון.
נוסחה / הצבה
(f/g)' = (f' * g - f * g') / g^2להיזהר באופרטורים וטרמינולוגיה בעת הגבול.
4בניית משוואה
נציב בנגזרת ונפתח את המונה
בניית משוואה
נציב בנגזרת ונפתח את המונה
מה עושים
נגזור את המונה והמכנה וניתן ביטוי למונה הנגזרת.
למה
פשוט לפתור משוואה כשמחברים את המונה בלבד כי המכנה בריבוע תמיד חיובי.
f'(x) = ((2x - 5)(x - 3) - (x^2 -5x +8)(1)) / (x - 3)^2.
נוסחה / הצבה
f' = ((2x - 5)(x - 3) - (x^2 -5x + 8) * 1) / (x -3)^2המכנה בריבוע חיובי ולא משפיע על שוויון לאפס.
5פתרון
נסדר ונשווה את המונה לאפס
פתרון
נסדר ונשווה את המונה לאפס
מה עושים
נפתח סוגריים, נסדר את הפונקציה ונקבל משוואה ריבועית ב-x.
למה
פתרון x בנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס הוא בבדיקת נקודות קיצון.
פשט: (2x - 5)(x - 3) - (x^2 - 5x + 8) = 0.
נוסחה / הצבה
(2x - 5)(x - 3) - (x^2 - 5x + 8) = 0פשט ביטויים בקפידה כדי להימנע מטעויות.
6פתרון
פתור את המשוואה ורשום פתרונות
פתרון
פתור את המשוואה ורשום פתרונות
מה עושים
פיתח וסדר את הפונקציה: 2x^2 - 6x - 5x + 15 - x^2 + 5x - 8 = 0
למה
נקבל x אפשריים לנקודות קיצון.
סיכום: x^2 - 6x + 7 = 0. פתרון משוואה ריבועית.
נוסחה / הצבה
x^2 - 6x + 7 = 0פשוט את המשוואה ופתור על פי נוסחת השורשים או פירוק.
פתרונות כלליים
- מציאת נקודות קיצון לפונקציית מנה פשוטה: תחום ההגדרה: x \neq 1. נחשב נגזרת לפי כלל המנה: f'(x) = ((4x + 3)(x - 1) - (2x^2 + 3x - 1)(1)) / (x - 1)^2. פשט את המונה, סדר ופתור את המשוואה למכנה לא אפס ולמחלק בריבוע סבור רק את המונה שווה לאפס. לאחר פתרון קבל ערכים אפשריים ל-x. בדוק סימני נגזרת משני צידי נקודות אלה כדי לקבוע את סוג נקודת הקיצון.