וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בהבנת תחום ההגדרה של פונקציות והשפעתו על מערכת הצירים, תוך התייחסות לחיתוכים עם הצירים ושאיפות הפונקציה לנקודות אסימפטוטיות.
- להבין את מושג תחום ההגדרה של פונקציה
- לזהות את האיסורים בתחום ההגדרה (כמו אי-קיום נקודות שגרגר)
- להבין את השפעת תחום ההגדרה על גרף הפונקציה ומערכת הצירים
- לזהות חיתוכים עם הצירים ולהסביר מתי הם קיימים או חסרים
- להבין ולהסביר את מושג השאיפה של הפונקציה לנקודות מסוימות
- הגדרת תחום ההגדרה: הסבר על איסורי תחום ההגדרה, כגון שהמכנה לא יכול להיות אפס ומקרי חיתוך אסורים עם ציר ה-Y בעת שהפונקציה לא מוגדרת.
- התנהגות הפונקציה סביב נקודות אסימפטוטיות: התבוננות בשאיפות ערכי הפונקציה כאשר x שואף לערכים מיוחדים (למשל אפס) והסבר השפעתם על הגרף.
- חיתוכים וייחוס גרפי: טיפול בנושא חיתוך הפונקציה עם ציר ה-x וציר ה-y, ומה משמעותם כאשר הפונקציה או תחום ההגדרה מוגבלים.
תרגול קצר
מצא תחום הגדרה לפונקציה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (x+1)/x. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: תחום ההגדרה אינו כולל ערכים שגורמים למכנה להפוך לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x ∈ ℝ, x ≠ 0
המכנה הוא x ולכן x ≠ 0. לכן תחום ההגדרה הוא כל x ממשיים פרט ל-0.
מצא חיתוך עם ציר ה-X ותחום הגדרה
רמת קושי: בינוני
מתוך הפונקציה f(x) = (1+ln x)/x, בדוק האם קיימים חיתוכים עם ציר ה-X ומצא את תחום ההגדרה.
רמז: תחום ההגדרה תלוי ב-ln(x) ולכן x>0. חיתוך עם ציר ה-X מתבצע כאשר y=0.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x>0 חיתוך עם ציר ה-X בנקודה x=0.367
תחום ההגדרה: x>0 כי ln(x) מוגדר רק עבור x>0. חיתוך עם ציר ה-X: פותרים 0 = (1+ln x)/x => 1 + ln x = 0 => ln x = -1 => x = e^{-1} ≈ 0.367. ערך זה בתחום ההגדרה, ולכן קיים חיתוך בנקודה (0.367,0).
ניתוח תחום הגדרה ושאיפות פונקציה
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה f(x) = (1 + ln x)/x. הצב ערכים בסמוך לאפס מימין והסבר את השאיפה של הפונקציה בנקודה זו.
רמז: חשב ערכים של הפונקציה עבור x קרוב מאוד ל-0+, ארצה לבדוק את התנהגות הפונקציה בשאיפה ל-0 מהצד החיובי.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפונקציה שואפת ל-∞ שלילי כאשר x שואף ל-0 מהצד הימני.
תחום ההגדרה הוא x>0. מציבים ערכים קטנים מאוד מעל 0 (למשל 0.001) במחשבון: ln(0.001) < 0 מאוד ולכן הפונקציה שואפת לשליליות גדולה. בהתאם לכך, f(x) שואפת אליל שלילי -∞ כש-x שואף ל-0+.
בחינת תחום הגדרה, חיתוך ושאיפה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = (1 + ln x)/x. 1. מצא את תחום ההגדרה. 2. מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה-X. 3. הסבר את שאיפת הפונקציה כאשר x שואף ל-0 מימין.
רמז: הכן תחילה את תחום ההגדרה, אחר כך תנאי חיתוך עם ציר ה-X (y=0), ובסוף בדוק גבול כש-x מתקרב ל-0+.
פתרון מלא
תשובה סופית: 1. תחום ההגדרה: x>0 2. חיתוך עם ציר ה-X בנקודה x=0.367 3. הפונקציה שואפת ל-∞ שלילי כאשר x→0+
1. תחום ההגדרה: x>0 (מפני ש-ln(x) מוגדר רק שם והמחלק לא אפס). 2. חיתוך עם ציר ה-X: 0 = (1 + ln x)/x => ln x = -1 => x = e^{-1} ≈ 0.367. 3. שאיפה ל-0 מימין: כאשר x→0+, ln x שואף ל-∞ שלילי, לכן הפונקציה שואפת ל-∞ שלילי.
דרך הפתרון
מפה לפתרון תרגיל פונקציה עם לוגריתם
פונקציה f(x) = (1 + ln x)/x: תחום הגדרה, חיתוך ושאיפה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של f / נקודת חיתוך עם ציר ה-X / שאיפת הפונקציה ל-0+ (כאשר x שואף ל-0
- נתון 1
נתון 1
f(x) = (1 + ln x)/x - נתון 2
נתון 2
ln x מוגדר רק ל-x > 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
נתחיל מהגבלת תחום ההגדרה בעקבות הלוגריתם והמחלק, נפתור את משוואת החיתוך עם ציר ה-X, ולבסוף נבדוק
- נוסחה
כותבים ש-(1 + ln x)/x = 0, כלומר 1 + ln x = 0.
1 + ln x = 0 - משוואה
מבודדים ln x = -1, ומציבים x = e^{-1}.
מבודדים ln x = -1, ומציבים x = e^{-1}.
x = e^(-1) - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
בודקים שה-x ≈ 0.367 הוא בטווח תחום ההגדרה x>0.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה והגבלות הלוגריתם
זיהוי נתונים
הפונקציה והגבלות הלוגריתם
מה עושים
הפונקציה היא (1 + ln x)/x והלוגריתם מוגדר רק ל-x>0.
למה
תחום ההגדרה חייב לכלול רק את ה-x שהפונקציה מוגדרת עבורם.
הפונקציה כוללת ln x ולכן x חייב להיות חיובי.
2בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה וחיתוך
בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה וחיתוך
מה עושים
תחום ההגדרה נקבע מ- ln x ושהמכנה x אינו אפס. חיתוך עם ציר ה-X מחייבת y=0.
למה
כשמחלק לא יכול להיות אפס, ו-ln x מוגבל ל-x>0.
3בניית משוואה
פתור חיתוך עם ציר ה-X
בניית משוואה
פתור חיתוך עם ציר ה-X
מה עושים
כותבים ש-(1 + ln x)/x = 0, כלומר 1 + ln x = 0.
למה
כדי למצוא את x שחיתוך מתרחש בו.
נוסחה / הצבה
1 + ln x = 04פתרון
חשב x לחיתוך עם ציר ה-X
פתרון
חשב x לחיתוך עם ציר ה-X
מה עושים
מבודדים ln x = -1, ומציבים x = e^{-1}.
למה
פתרון משוואת הלוגריתם.
נוסחה / הצבה
x = e^(-1)5בדיקה
וודא תחום הגדרה וחיתוך
בדיקה
וודא תחום הגדרה וחיתוך
מה עושים
בודקים שה-x ≈ 0.367 הוא בטווח תחום ההגדרה x>0.
למה
המקבל ערך חוקי לפונקציה וכן חיתוך תקף.
6תשובה
הסבר שאיפת הפונקציה ל-0 מימין
תשובה
הסבר שאיפת הפונקציה ל-0 מימין
מה עושים
כשה-x מתקרב ל-0 מימין, הפונקציה שואפת ל-∞ שלילי.
למה
כי ln x שואף ל-∞ שלילי ו-x שואף ל-0+, הפונקציה מתנהגת כמו ln x מחולק במספר קטן חיובי.
נוסחה / הצבה
lim x→0+ (1 + ln x)/x = -∞_x 0^+ (1 + x)/(x) = -אפשר להיעזר במחשבון להצבת פונקציה בערכים קטנים מאוד.
פתרונות כלליים
- מצא תחום הגדרה לפונקציה: המכנה הוא x ולכן x ≠ 0. לכן תחום ההגדרה הוא כל x ממשיים פרט ל-0.
- מצא חיתוך עם ציר ה-X ותחום הגדרה: תחום ההגדרה: x>0 כי ln(x) מוגדר רק עבור x>0. חיתוך עם ציר ה-X: פותרים 0 = (1+ln x)/x => 1 + ln x = 0 => ln x = -1 => x = e^{-1} ≈ 0.367. ערך זה בתחום ההגדרה, ולכן קיים חיתוך בנקודה (0.367,0).
- ניתוח תחום הגדרה ושאיפות פונקציה: תחום ההגדרה הוא x>0. מציבים ערכים קטנים מאוד מעל 0 (למשל 0.001) במחשבון: ln(0.001) < 0 מאוד ולכן הפונקציה שואפת לשליליות גדולה. בהתאם לכך, f(x) שואפת אליל שלילי -∞ כש-x שואף ל-0+.
- בחינת תחום הגדרה, חיתוך ושאיפה: 1. תחום ההגדרה: x>0 (מפני ש-ln(x) מוגדר רק שם והמחלק לא אפס). 2. חיתוך עם ציר ה-X: 0 = (1 + ln x)/x => ln x = -1 => x = e^{-1} ≈ 0.367. 3. שאיפה ל-0 מימין: כאשר x→0+, ln x שואף ל-∞ שלילי, לכן הפונקציה שואפת ל-∞ שלילי.