וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב4. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות מסוג טנגנס, תוך דגש על זיהוי הזוויות שאליהן הטנגנס שווה לערך נתון והבנת הצורך בעליית הערך ב-π כפרמטר כללי. בנוסף משולב דוגמא לתרגול הכולל חלוקה במשוואות טריגונומטריות ליצירת טנגנס.
- ללמוד לפתור משוואות טנגנס בסיסיות עם ערכים נתונים
- להבין את השימוש בפרמטר הרציונלי k בפתרונות זוויתיות של טנגנס
- לתרגל חלוקה במשוואות טריגונומטריות על מנת להפוך אותן למשוואות טנגנס
- להכיר מצבים מיוחדים בהם משתמשים בטנגנס לפתרון משוואות
- להפנים כיצד לחשב זוויות על בסיס ערך טנגנס נתון
- הגדרת פתרון משוואות טנגנס: משוואה מהצורה טנגנס x = a מתבטאת בצורה כללית x = אלפא + pi*k, שם אלפא היא הערך שמחזיר המחשבון ל-a, ו-k הוא מספר שלם כללי.
- דוגמאות לפתרונות של משוואות טנגנס: טנגנס x שווה לערכים מיוחדים כמו מינוס 1, שורש 3 וכדומה מזוהים עם הזוויות מקובלות. ניתן להשתמש בפקודות המחשבון כדי לקבל את הערך האלפא ולהוסיף pi*k.
- שימוש בטנגנס לפתרון משוואות מורכבות: כאשר מופיעים ביטויים כגון סינוס x וקוסינוס x במשוואה, ניתן לחלק ולייצר משוואה בטנגנס x. זה מאפשר לפתור משוואות שקשות לפתרון באופן ישיר.
תרגול קצר
פתור את המשוואה tan x = √3/3
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) עבור \( x \) בתחום הריאלי.
רמז: השתמש בערך הזווית שמחזיר tan √3/3 וכתוב את הפתרון הכללי עם pi*k.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/6 + πk, k מספר שלם
\( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)
פתור את המשוואה 3sin x = √3 cos x
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה \( 3\sin x = \sqrt{3} \cos x \) בתחום הריאלי.
רמז: חלק את שני הצדדים בקוסינוס x וכתוב את המשוואה כטנגנס x.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/6 + πk, k מספר שלם
\( \begin{align*} 3\sin x &= \sqrt{3} \cos x \\ \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow \tan x &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow x &= \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{align*} \)
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית עם טנגנס
דוגמא לפתרון המשוואה 3סינוס x = שורש3 קוסינוס x
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
3 sin x = √3 cos x - רעיון
הרעיון המרכזי
לחלק את שני האברים בקוסינוס x כדי לקבל משוואת טנגנס ולפתור אותה.
- נוסחה
נרשום sin x חלקי cos x = tan x
tan x = root3 / 3tan x = √3/3x = (3)/(3) - משוואה
כתוב את משוואת היסוד 3 sin x = √3 cos x
כתוב את משוואת היסוד 3 sin x = √3 cos x
- פישוט
חשב את הזווית שהטנגנס שלה שווה ל√3/3
חשב את הזווית שהטנגנס שלה שווה ל√3/3
alpha = pi / 6α = π / 6 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הצג את כל הפתרונות האפשריים
x = pi / 6 + pi * kx = π/6 + πk - בדיקה
בדיקה קצרה
- הבהרת חלוקת המשוואה בקוסינוס
- הגדרת טנגנס כפול סינוס חלקי קוסינוס
- זהירות: שכחת להוסיף פרמטר k לפתור הכללי
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה
זיהוי נתונים
נתון המשוואה
מה עושים
כתוב את משוואת היסוד 3 sin x = √3 cos x
למה
זהו הנתון שממנו נתחיל לפתור.
משוואה טריגונומטרית הכוללת סינוס וקוסינוס.
2בחירת שיטה
חלקו את המשוואה בקוסינוס x
בחירת שיטה
חלקו את המשוואה בקוסינוס x
מה עושים
חלקו את שני אגפי המשוואה בקוסינוס x
למה
מספרת פועל חלקי מכנה נותן טנגנס x
משוואה עם מנה בין סינוס לקוסינוס הופכת לטנגנס x.
וודאו שקוסינוס x לא שווה לאפס.
3בניית משוואה
הגדירו טנגנס x
בניית משוואה
הגדירו טנגנס x
מה עושים
נרשום sin x חלקי cos x = tan x
למה
הגדרת טנגנס מאפשרת להמיר את המשוואה לפשוטה יותר
משוואה מומרת: tan x = √3/3
נוסחה / הצבה
tan x = root3 / 3tan x = √3/3x = (3)/(3)4פתרון
מצא את הזווית אלפא
פתרון
מצא את הזווית אלפא
מה עושים
חשב את הזווית שהטנגנס שלה שווה ל√3/3
למה
צריך למצוא פתרון ראשוני (אלפא)
הזווית היא π חלקי 6
נוסחה / הצבה
alpha = pi / 6α = π / 6= ()/(6)5פתרון
הוסף את הפרמטר הכללי k
פתרון
הוסף את הפרמטר הכללי k
מה עושים
כתוב את הפתרון הכללי x = α + πk
למה
טנגנס מחזורי עם מחזוריות π
הפתרון הכולל: x = π/6 + πk, k∈Z
נוסחה / הצבה
x = pi / 6 + pi * kx = π/6 + πkx = ()/(6) + kk הוא מספר שלם כלשהו
6תשובה
סיום – כתוב את הפתרון
תשובה
סיום – כתוב את הפתרון
מה עושים
הצג את כל הפתרונות האפשריים
למה
זו התוצאה הסופית של המשוואה
x = π/6 + πk, עבור k במספרים השלמים
נוסחה / הצבה
x = pi / 6 + pi * kx = π/6 + πkx = ()/(6) + kפתרונות כלליים
- פתור את המשוואה tan x = √3/3: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)
- פתור את המשוואה 3sin x = √3 cos x: \( \begin{align*} 3\sin x &= \sqrt{3} \cos x \\ \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow \tan x &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow x &= \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{align*} \)