וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב3. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא פתרון משוואות טריגונומטריות מסוג קוסינוס, לרבות שימוש בנוסחאות פתרון, זיהוי תחומים, חיתוכים עם הצירים ועבודה עם מחשבון מדעי.
- להבין כיצד לפתור משוואת קוסינוס ולהשתמש בפתרונות כלליים
- לזכור ולהשתמש במקרים המיוחדים של פתרון משוואות קוסינוס
- ליישם פתרונות בתחום מוגבל ולהבין חיתוכים עם הצירים
- להשתמש בכלי מחשבון בצורה מקצועית לחישוב זוויות ופתרונות
- לפענח משוואות טריגונומטריות ולכתוב אותן בצורה מתמטית נכונה
- פתרון משוואות קוסינוס: הצגת הפתרונות הכלליים למשוואת קוסינוס X שווה לערך alpha, כולל שני פתרונות עיקריים ופתרונות מחזוריים עם פקטור K.
- שימוש במחשבון מדעי: הדגמה על איך להשתמש במחשבון לבדיקת ערכים, חישוב α ו- -α, ולוודא נכונות הפתרונות.
- חיתוכים עם הצירים בתחום נתון: הצגת דרך מציאת נקודות חיתוך של פונקציה טריגונומטרית עם ציר X ו-Y בתחום נתון.
- בדיקת תחומי פתרון וסינון: איך לסנן פתרונות אחרי הצבה בתחום ומיון נקודות הקיצון והפתרונות הרלוונטיים בלבד.
תרגול קצר
פתרון משוואת קוסינוס בסיסית
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה cos x = 0.5 בתחום כל הזוויות (x ברדיאנים). כתוב את כל הפתרונות
רמז: נזכור שcos x = cos(α) נותן פתרונות x=α + 2πk ו-x=-α + 2πk
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/3 + 2πk או x = -π/3 + 2πk, k ∈ ℤ
ראשית נמצא את α שמקיים cos α = 0.5. α = π/3. לכן הפתרונות הם x=π/3 + 2πk ו-x=-π/3 + 2πk, כאשר k מספר שלם.
פתרון משוואה עם תחום מוגבל
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה cos 2x = 0 בתחום x ב-[0, 2π]
רמז: נשתמש בזהות cos 2x = 0 ונמצא את 2x תחום פתרון ראשוני.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
cos 2x = 0 מתקיים כאשר 2x = π/2 + πk, לכן x = π/4 + πk/2. נבדוק את הערכים ב-[0, 2π]: k=0 → x=π/4; k=1 → x=3π/4; k=2 → x=5π/4; k=3 → x=7π/4; k=4 → x=9π/4 (מחוץ לתחום).
דרך הפתרון
פתרון משוואת קוסינוס cos 2x = 0 בתחום [0,2π]
שלבי פתרון ותכנון
מפת פתרון
- מטרה
למצוא כל פתרון x שמקיים את המשוואה בתחום הנתון
- נתון 1
נתון 1
cos 2x = 0 - נתון 2
x ∈ [0 , 2π]
- רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בזהות טריגונומטרית ונמצא את הפתרונות הכלליים, אחר כך נסנן לפי התחום
- נוסחה
נחלק ב-2 את המשוואה הכוללת ונקבל x = π/4 + π·k/2
x = (pi/2 + pi*k) / 2x = (π/2 + π·k) / 2x = (/2 + k)/(2) - משוואה
נתונים המשוואה cos 2x=0 והטווח x מ-0 עד 2π
נתונים המשוואה cos 2x=0 והטווח x מ-0 עד 2π
- פישוט
נחליף k בערכים שלמים ובודקים את x בתחום [0, 2π]
נחליף k בערכים שלמים ובודקים את x בתחום [0, 2π]
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרונות המתאימים הם π/4, 3π/4, 5π/4 ו-7π/4
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים ראשוניים
זיהוי נתונים
נתונים ראשוניים
מה עושים
נתונים המשוואה cos 2x=0 והטווח x מ-0 עד 2π
למה
חשוב לדעת במהירות מה הבעיה ומהם הנתונים הרלוונטיים
המשוואה נתונה עם תאום 2x והתחום להגבלה הוא 0 עד 2π
2בחירת שיטה
הבנת הזהות
בחירת שיטה
הבנת הזהות
מה עושים
נזכור ש-cos θ=0 כאשר θ = π/2 + π·k
למה
זה הפתרון הכללי לקוסינוס שמקבל ערך 0
עבור cos 2x=0, הפתרון הכללי הוא 2x = π/2 + π·k
3בניית משוואה
כתיבת משוואות לפתרונות
בניית משוואה
כתיבת משוואות לפתרונות
מה עושים
נחלק ב-2 את המשוואה הכוללת ונקבל x = π/4 + π·k/2
למה
כדי לבודד את x ולמצוא את הפתרונות
2x = π/2 + π·k → x = π/4 + π·k/2
נוסחה / הצבה
x = (pi/2 + pi*k) / 2x = (π/2 + π·k) / 2x = (/2 + k)/(2)4פתרון
חישוב פתרונות בתחום
פתרון
חישוב פתרונות בתחום
מה עושים
נחליף k בערכים שלמים ובודקים את x בתחום [0, 2π]
למה
למצוא פתרונות תקפים בטווח הנתון בלבד
k=0 → x=π/4; k=1 → x=3π/4; k=2 → x=5π/4; k=3 → x=7π/4; k=4 → x=9π/4 (לא בתוך תחום)
לבדוק גבולות תחום ולשמור רק מה שתקף
5תשובה
רשימת הפתרונות הסופית
תשובה
רשימת הפתרונות הסופית
מה עושים
הפתרונות המתאימים הם π/4, 3π/4, 5π/4 ו-7π/4
למה
אלו כל הפתרונות בתחום הנתון
כל הפתרונות נמצאו תוך שמירה על תחום X בין 0 ל-2π
פתרונות כלליים
- פתרון משוואת קוסינוס בסיסית: ראשית נמצא את α שמקיים cos α = 0.5. α = π/3. לכן הפתרונות הם x=π/3 + 2πk ו-x=-π/3 + 2πk, כאשר k מספר שלם.
- פתרון משוואה עם תחום מוגבל: cos 2x = 0 מתקיים כאשר 2x = π/2 + πk, לכן x = π/4 + πk/2. נבדוק את הערכים ב-[0, 2π]: k=0 → x=π/4; k=1 → x=3π/4; k=2 → x=5π/4; k=3 → x=7π/4; k=4 → x=9π/4 (מחוץ לתחום).