וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב2. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפיתרון משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס, בעיקר משוואות עם ביטויים כמו סינוס של kX, תוך שימוש בכתיבת פתרון כללי עם פרמטר k אינטגרלי, המרת מעלות לרדיאנים ועבודה עם מחשבון מדעי במצב רדיאנים.
- להבין את מבנה הפתרונות הכלליים של משוואות סינוס
- לכתוב פתרונות של משוואות סינוס בצורה מפושטת ונוחה
- להמיר בין מעלות לרדיאנים
- להשתמש במחשבון המדעי למעבר בין מעלות לרדיאנים ולמציאת ערכי סינוס
- לפרוס פתרונות בתחום מוגדר בטווח של רדיונים
- משוואות סינוס בצורה כללית: משוואות מהצורה סינוס של kX שווה לערך כלשהו, נפתרות על ידי כתיבת שני ביטויים כלליים: kX שווה לזווית ועוד 360 כפול k ועוד kX שווה ל-180 פחות הזווית ועוד 360 כפול k.
- המרת מעלות לרדיאנים ועבודה עם מחשבון מדעי: המרת זוויות במעלות לרדיאנים כדי לעמוד בדרישות הבגרות, שימוש במחשבון למדידת ערכי סינוס וכתיבת הפתרון ברדיאנים.
- פריסת פתרונות בתחום מוגדר: בדיקה ופריסה של פתרונות תשובות בתחום מוגדר באמצעות שילוב מחשבון וסריקת פתרונות עם פרמטר k כדי לוודא שהפתרונות בתחום.
תרגול קצר
פתור את המשוואה סינוס 2X = -1/2
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה \( \sin(2X) = -\frac{1}{2} \) וכתוב את כל הפתרונות הכלליים של X.
רמז: כתוב את הערכים של הזווית שבהם סינוס שווה ל-1/2 ו- -1/2 לפי מצבי הסינוס, ואז פתר את המשוואה עבור X.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = -15 + 180K או X = 105 + 180K, K∈ℤ
עלות הזווית \(α\) שבה הסינוס הוא 1/2 היא 30 מעלות (\(\pi/6\) ברדיאנים). לכן: \(2X = -30 + 360K\) או \(2X = 210 + 360K\) \\ מחלקים ב-2: \(X = -15 + 180K\) או \(X = 105 + 180K\) ברמות (או בניסוחים ברדיאנים בהתאם להקשר).
פתור את המשוואה סינוס 4X = 1
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה \( \sin(4X) = 1 \) וכתוב את הפתרונות הכלליים של X.
רמז: ערך זווית שבו סינוס הוא 1 הוא 90 מעלות (\(\pi/2\) ברדיאנים). כתוב את המשוואה עבור 4X ופתור.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 22.5 + 90K, K∈ℤ
\(4X = 90 + 360K\) \\ מכאן: \(X = \frac{90}{4} + 90K = 22.5 + 90K\) מעלות או בניסוח ברדיאנים נפרט לפי הצורך.
פתור את המשוואה סינוס 2X = סינוס X
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה \( \sin(2X) = \sin(X) \) וכתוב את כל הפתרונות הכלליים.
רמז: השתמש בכלל הפתרון כאשר \(\sin A = \sin B\), כלומר \(A = B + 360K\) או \(A = 180 - B + 360K\).
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 360K או X = 60 + 120K, K∈ℤ
לפי כלל הפתרון: \(2X = X + 360K\) או \(2X = 180 - X + 360K\) \\ מקרה ראשון: \(2X - X = 360K \Rightarrow X = 360K\) מקרה שני: \(2X + X = 180 + 360K \Rightarrow 3X = 180 + 360K \Rightarrow X = 60 + 120K\) מעלות \\ כלומר: \(X = 360K\) או \(X = 60 + 120K\), K שלם.
פתרון משוואה טריגונומטרית במעלות
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה \( \sin(3X) = 0 \) עבור \(X\) בתחום מ-0 עד 360 מעלות.
רמז: סינוס שווה ל-0 ב-0, 180, 360 מעלות. כתוב את המשוואה והצליב את הפתרון אל תוך תחום X.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 0, 60, 120, 180, 240, 300 מעלות
\(3X = 0 + 360K\) \(3X = 180 + 360K\) \(3X = 360 + 360K\) \\ מחלקים ב-3: \(X = 0 + 120K\) \(X = 60 + 120K\) \(X = 120 + 120K\) \\ מחפשים את הערכים ב-\(0 \leq X < 360\): כש-K=0: X=0,60,120 כש-K=1: X=120,180,240 (חלקי תחום) כש-K=2: X=240,300,360 (360 לא כלול) \\ פתרונות בתחום הם: 0, 60, 120, 180, 240, 300 מעלות.
דרך הפתרון
פתרון המשוואה סינוס 2X = -1/2
פתרון כללי של משוואת סינוס עם שימוש בכתיבה לצדדים והפרדת k
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את כל הפתרונות הכלליים של X
- נתון 1
נתון 1
\((2X) = -(1)/(2)\) - רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא את הזוויות של סינוס המינוס חצי, ואז לפתור את המשוואות לכל פתרון ולבודד את X עם הוספת פרמטר
- נוסחה
כותבים את הפתרונות כ- \( 2X = -30 + 360K \) ו- \( 2X = 210 + 360K \)
2X = -30 + 360K2X = 210 + 360K - משוואה
נתונה המשוואה \( \sin(2X) = -\frac{1}{2} \)
נתונה המשוואה \( \sin(2X) = -\frac{1}{2} \)
- פישוט
מחלקים את שני האגפים ב-2 כדי למצוא את X
מחלקים את שני האגפים ב-2 כדי למצוא את X
X = (-30 + 360K)/2X = (210 + 360K)/2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
ניתן לבדוק בעזרת חזרה על הפתרון בשפה טריגונומטרית או עם מחשבון
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הבין שיש שני ביטויים כלליים לפתרון משוואת סינוס
- זיהה את הזוויות שבהן סינוס שווה לערך המבוקש
- זהירות: כתיבת הפתרונות בעמודה אחת מתחת לשנייה שעלולה לגרום לבלבול
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
נתונה המשוואה \( \sin(2X) = -\frac{1}{2} \)
למה
זו ההנחה שעל פיה נפתור את המשוואה
מזהים שהמשוואה מתארת סינוס של 2X השווה לערך -1/2
2בחירת שיטה
מציאת הזוויות שבהן סינוס שווה -1/2
בחירת שיטה
מציאת הזוויות שבהן סינוס שווה -1/2
מה עושים
בוחרים את הזוויות בהן סינוס הוא -1/2 הן 210 ו- -30 מעלות
למה
כי סינוס של 30 הוא 1/2, והמינוס מחייב זווית משיקה
משתמשים בידע טריגונומטרי לזוויות בסיסיות במעלות
במידת הצורך יש להשתמש במחשבון למדידה מדויקת
3בניית משוואה
כתיבת משוואות הפתרון הכולל
בניית משוואה
כתיבת משוואות הפתרון הכולל
מה עושים
כותבים את הפתרונות כ- \( 2X = -30 + 360K \) ו- \( 2X = 210 + 360K \)
למה
לפי כלל פתרון משוואת סינוס עם קבוע k שלם שמייצג מחזורים
פירוק לביטויים פשוטים עם פרמטר מחזורי K
נוסחה / הצבה
2X = -30 + 360K2X = 210 + 360Kחשוב להקפיד לכתוב לצדדים זה לצד זה לנוחות קריאה
4פתרון
בודדים את X בחלוקה ב-2
פתרון
בודדים את X בחלוקה ב-2
מה עושים
מחלקים את שני האגפים ב-2 כדי למצוא את X
למה
מכיוון שהפונקציה היא של 2X ולא של X בלבד
חישוב ערכי X לפי החוקים האמורים
נוסחה / הצבה
X = (-30 + 360K)/2X = (210 + 360K)/2X = -15 + 180KX = 105 + 180Kלזכור שחייבים לחלק את כל האגפים ב-2
5בדיקה
בדוק את התוצאות
בדיקה
בדוק את התוצאות
מה עושים
ניתן לבדוק בעזרת חזרה על הפתרון בשפה טריגונומטרית או עם מחשבון
למה
כדי לוודא שהפתרונות מתאימים למשוואה הראשונית
ודא כי סינוס של 2X בערך השל X שמצאת שווה למינוס חצי
ניתן להחליף ערכים לתוך המשוואה המקורית
6תשובה
הפתרון הכללי הוא
תשובה
הפתרון הכללי הוא
מה עושים
כתיבת הפתרון לצורת נוסח מסכמת
למה
כדי להציג את התוצאה הסופית לתלמידים
הפתרונות הם \( X = -15 + 180K \) או \( X = 105 + 180K \) כאשר K הוא כל מספר שלם
נוסחה / הצבה
X = -15 + 180KX = 105 + 180KK ∈ ℤפתרונות כלליים
- פתור את המשוואה סינוס 2X = -1/2: עלות הזווית \(α\) שבה הסינוס הוא 1/2 היא 30 מעלות (\(\pi/6\) ברדיאנים). לכן: \(2X = -30 + 360K\) או \(2X = 210 + 360K\) \\ מחלקים ב-2: \(X = -15 + 180K\) או \(X = 105 + 180K\) ברמות (או בניסוחים ברדיאנים בהתאם להקשר).
- פתור את המשוואה סינוס 4X = 1: \(4X = 90 + 360K\) \\ מכאן: \(X = \frac{90}{4} + 90K = 22.5 + 90K\) מעלות או בניסוח ברדיאנים נפרט לפי הצורך.
- פתור את המשוואה סינוס 2X = סינוס X: לפי כלל הפתרון: \(2X = X + 360K\) או \(2X = 180 - X + 360K\) \\ מקרה ראשון: \(2X - X = 360K \Rightarrow X = 360K\) מקרה שני: \(2X + X = 180 + 360K \Rightarrow 3X = 180 + 360K \Rightarrow X = 60 + 120K\) מעלות \\ כלומר: \(X = 360K\) או \(X = 60 + 120K\), K שלם.
- פתרון משוואה טריגונומטרית במעלות: \(3X = 0 + 360K\) \(3X = 180 + 360K\) \(3X = 360 + 360K\) \\ מחלקים ב-3: \(X = 0 + 120K\) \(X = 60 + 120K\) \(X = 120 + 120K\) \\ מחפשים את הערכים ב-\(0 \leq X < 360\): כש-K=0: X=0,60,120 כש-K=1: X=120,180,240 (חלקי תחום) כש-K=2: X=240,300,360 (360 לא כלול) \\ פתרונות בתחום הם: 0, 60, 120, 180, 240, 300 מעלות.