וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
פיתוח סינוס של 90 ועוד אלפא
רמת קושי: קל
פיתחו את הביטוי סינוס של 90 מעלות ועוד זווית אלפא, והביעו את התוצאה כמונח של סינוס או קוסינוס של אלפא.
רמז: השתמשו בנוסחת הסינוס של סכום זוויות כאשר הזוויות הן 90 ואלפא.
תשובה סופית: cos α
לפי נוסחת הסינוס של סכום זוויות: sin(90 + α) = sin 90 cos α + cos 90 sin α. מכיוון ש sin 90 = 1 ו- cos 90 = 0, התוצאה היא cos α.
פישוט קוסינוס של 270 מינוס אלפא
רמת קושי: קל
פשטו את הביטוי קוסינוס של 270 מעלות מינוס הזווית אלפא, והביאו לתוצאה פשוטה עם סינוס או קוסינוס אלפא.
רמז: השתמשו בנוסחת הקוסינוס של הפרש זוויות והערכים המדויקים של קוסינוס וסינוס ב-270 מעלות.
תשובה סופית: -סינוס α
קוס(270 - α) = קוס 270 קוס α + סינוס 270 סינוס α. ידוע שקוס 270 = 0 וסינוס 270 = -1. לכן, הביטוי הוא 0*קוס α + (-1)*סינוס α = -סינוס α.
חישוב טנגנס של 90 ועוד אלפא
רמת קושי: בינוני
חשב את ערך טנגנס של 90 מעלות ועוד הזווית אלפא, והבע אותו באמצעות פונקציות טריגונומטריות של אלפא.
רמז: זכרו שטנגנס הוא יחס בין סינוס לקוסינוס ושימוש בנוסחאות החיבור מפשט זאת.
תשובה סופית: -cot α
טנג(90 + α) = sin(90 + α)/cos(90 + α) = cos α / (-סינ α) = -cot α.
השוואת ערכים של קוסינוס בזוויות צירים ראשיים
רמת קושי: בגרות
השוו את הערכים של קוסינוס 90 פלוס α ו-קוסינוס 270 מינוס α והוכיחו כי מתקיים יחס מסוים ביניהם.
רמז: פתחו כל ביטוי באמצעות נוסחת הקוסינוס של סכום והפרש זוויות ופשטו תוך שימוש בערכי קוסינוס וסינוס בזוויות 90 ו-270 מעלות.
תשובה סופית: קוס(90 + α) = קוס(270 - α) = -סינ α
קוס(90 + α) = קוס 90 קוס α - סינוס 90 סינ α = 0*קוס α - 1*סינ α = -סינ α. קוס(270 - α) = קוס 270 קוס α + סינון 270 סינ α = 0*קוס α + (-1)*סינ α = -סינ α. לכן שתי הביטויים שווים.
כיצד לפרק סינוס של סכום זוויות עם זווית ראשית
נשתמש בנוסחת חיבור הזוויות לסינוס ונציב את הערכים הידועים לזווית 90 מעלות.
sin(90 + α) = sin 90 × cos α + cos 90 × sin αsin(90° + α) = sin 90° × cos α + cos 90° × sin α(90^+) = 90^ * + 90^ *sin 90° = 1, cos 90° = 0
sin(90° + α) = 1 × cos α + 0 × sin α = cos α
sin(90° + α) = cos α
sin(90 + α) = cos αsin(90° + α) = cos αהשלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
מזהים כי יש סכום זוויות בסינוס
למה
כדי להשתמש בנוסחת חיבור הזוויות בסינוס יש צורך בזיהוי הזוויות המרכיבות את הסכום
הביטוי הוא סינוס של סכום הזוויות 90 מעלות ועוד α.
בחירת שיטה
מה עושים
ניישם את הנוסחה sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
למה
כך נפתח ונפשט את הביטוי המקורי
נציב a=90°, b=α בנוסחת הסינוס של סכום הזוויות.
בניית משוואה
מה עושים
sin(90° + α) = sin 90° cos α + cos 90° sin α
למה
מחלקים את הסכום לשני חלקים לפי הנוסחה
הנוסחה מוכנה להצבה בערכי הפונקציות הידועים של 90 מעלות
נוסחה / הצבה
sin(90 + α) = sin 90 × cos α + cos 90 × sin αsin(90° + α) = sin 90° × cos α + cos 90° × sin α(90^+) = 90^ * + 90^ *פתרון
מה עושים
sin 90° = 1, cos 90° = 0
למה
הערכים האלה מפשטים את הביטוי לסכום פשוט יותר
מחליפים את הערכים בנוסחה
פתרון
מה עושים
sin(90° + α) = 1 × cos α + 0 × sin α = cos α
למה
החלק השני מבוטל, והתוצאה מפושטת לביטוי פשוט
קיבלנו את התוצאה הסופית, ביטוי פשוט של cos α
תשובה
מה עושים
sin(90° + α) = cos α
למה
ניתן להמיר בעזרת נוסחאות חיבור זוויות את הביטוי לסינוס של זווית מורכבת לפונקציה פשוטה יותר
הפישוט מאפשר פתרון מהיר ונוח יותר בשאלות מתמטיות וטריגונומטריות
נוסחה / הצבה
sin(90 + α) = cos αsin(90° + α) = cos α(90^ + ) =הביטוי מקצר חישובים במבחנים ובפתרונות תרגילים