וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
הוכחת זהות טריגונומטרית לזווית כפולה
רמת קושי: קל
הוכח כי sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α). היעזר בזהויות מתאימות להמרת סינוס וקוסינוס לטנגנס.
רמז: השתמש בזהות sin α = tan α * cos α ובזהות פיתגוראית עבור cos² α.
תשובה סופית: sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α)
מתחילים מהביטוי sin(2α) = 2 sin α cos α. מחליפים sin α ב- tan α * cos α ומקבלים 2 tan α * cos² α. לפי זהות פיתגוראית cos² α = 1/(1+tan² α). מחליפים ומקבלים 2 tan α / (1+tan² α).
מעבר מביטוי סינוס למכפלה בטנגנס וקוסינוס ופישוט
sin(2α) = 2 sin α cos αלהחליף סינוס בקשר עם טנגנס וקוסינוס, ולהשתמש בזהות פיתגוראית לפישוט הביטוי.
sin(2α) = 2 sin α cos α(2) = 2מחליפים בנוסחה את sin α ומקבלים 2 tan α * cos² α.
sin(2α) = 2 tan α * cos² α(2) = 2 * ^(2)מחליפים cos² α ב- 1/(1 + tan² α)
cos² α = 1 / (1 + tan² α)^(2) = (1)/(1 + ^(2) )קבלו את sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α).
sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α)(2) = (2 )/(1 + ^(2) )השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נזכור את זהות סינוס הזווית הכפולה sin(2α) = 2 sin α cos α.
למה
זו הבסיס להוכחת הזהות המבוקשת.
נוסחה זו מאפשרת להתחיל בהחלפת הביטויים.
נוסחה / הצבה
sin(2α) = 2 sin α cos α(2) = 2זכרו את הזהות הבסיסית לזווית כפולה.
בחירת שיטה
מה עושים
מחליפים את sin α ב- tan α * cos α.
למה
כי הביטוי tan α * cos α שווה ל- sin α, וזה יעזור להעביר הכל לטנגנס.
sin α = tan α * cos α
נוסחה / הצבה
sin α = tan α * cos α= *זכרו להחליף בזהירות.
בניית משוואה
מה עושים
מחליפים בנוסחה את sin α ומקבלים 2 tan α * cos² α.
למה
כדי להביא את הביטוי לפורמט עם טנגנס וקוסינוס בלבד.
sin(2α) = 2 tan α * cos² α
נוסחה / הצבה
sin(2α) = 2 tan α * cos² α(2) = 2 * ^(2)שימו לב לצורת הביטוי החדשה.
פתרון
מה עושים
מחליפים cos² α ב- 1/(1 + tan² α)
למה
כי לפי הזהות הפיתגוראית, cos² α מתקשר לטנגנס בצורה זו.
cos² α = 1/(1 + tan² α)
נוסחה / הצבה
cos² α = 1 / (1 + tan² α)^(2) = (1)/(1 + ^(2) )השתמשו בזהירות בשבר.
תשובה
מה עושים
קבלו את sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α).
למה
זה מראה את הביטוי של סינוס זווית כפולה במונחי טנגנס בלבד.
סיימנו את ההוכחה עם הנוסחה הרצויה.
נוסחה / הצבה
sin(2α) = 2 tan α / (1 + tan² α)(2) = (2 )/(1 + ^(2) )זוהי זהות טריגונומטרית חשובה.