וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
הוכחת זהות פיתגורס טריגונומטרית
רמת קושי: קל
הראה כי sin²(α) + cos²(α) = 1 עבור זווית α כלשהי.
רמז: הסתמך על משפט פיתגורס במשולש ישר זווית.
תשובה סופית: sin²(α) + cos²(α) = 1
בסינוס מוגדר כאחוז הניגוד ליתר במשולש ישר זווית, וקוסינוס כאחוז הסמוך ליתר. לפי משפט פיתגורס סכום ריבועי הקטנים שווה לריבוע היתר, ולכן sin²(α) + cos²(α) = 1.
חישוב טנגנס מזווית נתונה
רמת קושי: בינוני
חשב את tan(α) כאשר sin(α) = 3/5 ו־cos(α) = 4/5.
רמז: השתמש בהגדרת הטנגנס כמנה של סינוס על קוסינוס.
תשובה סופית: 3/4
tan(α) = sin(α) / cos(α) = (3/5) / (4/5) = 3/4.
קשר בין טנגנס וקוטנגנס המספר 1
רמת קושי: מאתגר
הוכח כי tan(α) * cot(α) = 1.
רמז: זכור כי cot(α) = 1 / tan(α).
תשובה סופית: 1
tan(α) * cot(α) = tan(α) * (1 / tan(α)) = 1.
שימוש במחשבון לאימות זהות
רמת קושי: בגרות
בדוק באמצעות מחשבון כי sin²(700) + cos²(-300) = 1 (עם הזוויות במעלות).
רמז: הכנס למחשבון sin x בריבוע ועוד cos x בריבוע ואז הצב את הזוויות.
תשובה סופית: 1
מחשבים sin²(700) + cos²(-300) ע"י הזנת הביטוי במחשבון, התוצאה קרובה ל-1 בהתחשב בסטייה של חישוב מחשב.
כיצד להוכיח שסינוס בריבוע ועוד קוסינוס בריבוע שווים 1
נשתמש במשפט פיתגורס למשולש ישר זווית כדי להראות שקשר זה תואם את הגדרת סינוס וקוסינוס.
sin^2(alpha) = a^2 / c^2cos^2(alpha) = b^2 / c^2sin²(α) = a² / c²cos²(α) = b² / c²^(2)() = (a^(2))/(c^(2))sin²(α) + cos²(α) = (a² + b²) / c².
(a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2(a^(2)/c^(2)) + (b^(2)/c^(2)) = (a^(2) + b^(2)) / c^(2)(a^(2))/(c^(2))+ (b^(2))/(c^(2))= (a^(2)במכנה צריך להציב c² = a² + b² ולפתור את הביטוי ל-1.
(a^2 + b^2) / c^2 = c^2 / c^2 = 1(a^(2) + b^(2)) / c^(2) = c^(2) / c^(2) = 1סינוס α הוא היחס בין הנגד ליתר, וקוסינוס α הוא היחס בין סמוך ליתר.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
סינוס α הוא היחס בין הנגד ליתר, וקוסינוס α הוא היחס בין סמוך ליתר.
למה
כדי לקשור בין הזווית והצלעות במונחים טריגונומטריים.
הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית מאפשרת חיבור לצלעות המשולש.
בחירת שיטה
מה עושים
משפט פיתגורס קובע ש-a² + b² = c² במשולש ישר זווית.
למה
כי הסינוס והקוסינוס מוגדרים כאחוזים מהצלעות והיתרה.
מכיוון שסינוס וקוסינוס מוגדרים כיחסים לצלעות, סכום הריבועים שווה לזה של הצלע הגדולה.
נוסחה / הצבה
a^2 + b^2 = c^2a² + b² = c²a^(2) + b^(2) = c^(2)בניית משוואה
מה עושים
sin²(α) = (a/c)² והcos²(α) = (b/c)².
למה
להעביר את הביטויים ליחסי צלעות כדי להתאים למשפט פיתגורס.
נחליף את סינוס וקוסינוס בביטויים הצלעיים שלהם.
נוסחה / הצבה
sin^2(alpha) = a^2 / c^2cos^2(alpha) = b^2 / c^2sin²(α) = a² / c²cos²(α) = b² / c²^(2)() = (a^(2))/(c^(2))בניית משוואה
מה עושים
sin²(α) + cos²(α) = (a² + b²) / c².
למה
לשלב את שני הביטויים בנוסחה אחת באמצעות מכנה משותף.
נשתמש בחיבור שברים לקבלת ביטוי משותף.
נוסחה / הצבה
(a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2(a^(2)/c^(2)) + (b^(2)/c^(2)) = (a^(2) + b^(2)) / c^(2)(a^(2))/(c^(2))+ (b^(2))/(c^(2))= (a^(2)פתרון
מה עושים
במכנה צריך להציב c² = a² + b² ולפתור את הביטוי ל-1.
למה
כדי להגיע לתוצאה הרצויה שמשווה את הביטויים ל-1.
החלפת המכנה והמונה לפי משפט פיתגורס מציגה את הזהות.
נוסחה / הצבה
(a^2 + b^2) / c^2 = c^2 / c^2 = 1(a^(2) + b^(2)) / c^(2) = c^(2) / c^(2) = 1(a^(2) + b^(2))/(c^(2)) = (c^(2))/(c^(2)) = 1