וידאו · אינטגרלים
ב11. אינטגרל טריגונומטרי
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- לימוד מציאת אינטגרל של פונקציית קוסינוס בריבוע על ידי שימוש בזהויות טריגונומטריות ופישוט אינטגרל שלא ניתן לפתור ישירות.
- להבין ולזהות זהויות טריגונומטריות רלוונטיות לאינטגרלים
- לשנות אינטגרל של פונקציה לא ניתנת לפתרון לאינטגרל מפושט יותר
- לחשב אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות מורכבות באמצעות פישוטים
- הצגת הבעיה והאתגר: אין נוסחה ישירה לאינטגרל של קוסינוס בריבוע ולכן יש צורך להשתמש בזהויות טריגונומטריות כדי לפשט את הביטוי.
- שימוש בזהויות טריגונומטריות ופישוט האינטגרל: החלוקה על שתי ומעבר לזהויות מאפשרים לפרק את האינטגרל לפונקציות שקל יותר לאינטגרל אותן.
- חישוב האינטגרל והוספת קבוע האינטגרציה: אינטגרל של חצי הוא חצי X, ושל קוסינוס שני X הוא סינוס שני X בחצי, ואחרי חישוב מציבים תנאי התחלה לקבוע C.
תרגול קצר
חשב את האינטגרל של cos^2(x)
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל של הפונקציה cos בריבוע של x ביחס ל-x.
רמז: השתמש בזהות הקוסינוס בריבוע והמר את האינטגרל לביטוי שקל לחשב.
פתרון מלא
תשובה סופית: 1/2 x + 1/4 sin(2x) + C
נציב את הזהות: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2. האינטגרל הוא ∫cos^2(x) dx = ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx = 1/2 ∫dx + 1/2 ∫cos(2x) dx = 1/2 x + 1/2 * (1/2) sin(2x) + C = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + C
דרך הפתרון
פתרון אינטגרל cos^2(x)
שימוש בזהות טריגונומטרית ופישוט אינטגרל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אינטגרל הפונקציה ביחס ל-x
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה cos^2(x) - נתון 2
אין נוסחה ישירה לאינטגרל שלה
- רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בזהות טריגונומטרית כדי לפרק את הביטוי ולאפשר אינטגרציה פשוטה.
- נוסחה
נחליף את cos^2(x) בביטוי המפורק ונכתוב את האינטגרל כדלקמן: ∫(1/2 + 1/2
integral cos^2(x) dx = integral (1/2 + 1/2 cos(2x)) dx∫cos^2(x)dx = ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx^2(x) dx = ( (1)/(2) + (1)/(2) (2x) ) dx - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
∫1/2 dx = 1/2 x ; ∫1/2 cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C
∫1/2 dx = 1/2 x ; ∫1/2 cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C
integral (1/2) dx = 1/2 x + Cintegral (1/2) cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C - תוצאה
מסיימים בתשובה
המספר הסופי הוא 1/2 x + 1/4 sin(2x) + C.
F(x) = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + CF(x) = (1)/(2) x + (1)/(4) (2x) + C
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
פונקציה נתונה
זיהוי נתונים
פונקציה נתונה
מה עושים
נתונה הפונקציה cos^2(x) שיש לאינטגרל.
למה
אין נוסחה ישירה לאינטגרל על cos²(x).
אנחנו צריכים לחשב ∫cos²(x) dx.
2בחירת שיטה
זהות קוסינוס בריבוע
בחירת שיטה
זהות קוסינוס בריבוע
מה עושים
נשתמש בזהות cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2.
למה
זה מאפשר לפרק את האינטגרל לשני חלקים שקל לחשב.
נוסחה / הצבה
cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2^2(x) = (1 + (2x))/(2)זה בסיס לפישוט.
3בניית משוואה
המרת פונקציה לאינטגרל מפושט
בניית משוואה
המרת פונקציה לאינטגרל מפושט
מה עושים
נחליף את cos^2(x) בביטוי המפורק ונכתוב את האינטגרל כדלקמן: ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx.
למה
כעת האינטגרל מפורק לשני אינטגרלים פשוטים יותר.
נוסחה / הצבה
integral cos^2(x) dx = integral (1/2 + 1/2 cos(2x)) dx∫cos^2(x)dx = ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx^2(x) dx = ( (1)/(2) + (1)/(2) (2x) ) dxמשך את האינטגרל פנימה.
4פתרון
חשב את האינטגרלים המפוצלים
פתרון
חשב את האינטגרלים המפוצלים
מה עושים
∫1/2 dx = 1/2 x ; ∫1/2 cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C
למה
ניתן לאינטגרל כל אחד בנפרד ולהוסיף את קבוע האינטגרציה.
נוסחה / הצבה
integral (1/2) dx = 1/2 x + Cintegral (1/2) cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C∫(1/2) dx = 1/2 x + C∫(1/2) cos(2x) dx = 1/4 sin(2x) + C(1)/(2) dx = (1)/(2) x + Cהקפד על חישוב נכון של האינטגרל של קוסינוס עם מקדם.
5תשובה
ניסוח תשובה סופית
תשובה
ניסוח תשובה סופית
מה עושים
המספר הסופי הוא 1/2 x + 1/4 sin(2x) + C.
למה
זוהי התוצאה עם כל מרכיבי הפתרון לקבוע C.
נוסחה / הצבה
F(x) = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + CF(x) = (1)/(2) x + (1)/(4) (2x) + Cאל תשכח להוסיף את קבוע האינטגרציה C.
פתרונות כלליים
- חשב את האינטגרל של cos^2(x): נציב את הזהות: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2. האינטגרל הוא ∫cos^2(x) dx = ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx = 1/2 ∫dx + 1/2 ∫cos(2x) dx = 1/2 x + 1/2 * (1/2) sin(2x) + C = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + C