השיעור מתמקד בהיכרות עם זהויות טריגונומטריות בסיסיות, כיצד לפרק ולפשט ביטויים טריגונומטריים, והכרה של נוסחאות חשובות ונוספות המותרות לשימוש בבחינת הבגרות.
להכיר ולהבין זהויות טריגונומטריות בסיסיות
ללמוד לפרק ולפשט ביטויים טריגונומטריים מורכבים
להבין ולהסיק זהויות טריגונומטריות חדשות ממספר זהויות קיימות
לזהות נוסחאות חשובות שלא מופיעות בדף הנוסחאות אך מותר להשתמש בהן בבגרות
הכרות עם זהויות טריגונומטריות: הצגה של הנוסחאות הטריגונומטריות השכיחות והחשובות, והבחנה בין אלו שמופיעות בדף הנוסחאות לאלו שלא.
פרק ביטויים טריגונומטריים למפלצות קטנות: לומדים לפרק ביטויים טריגונומטריים מורכבים ולעשות סדר באמצעות העלאה בריבוע וחיבור בין אמירות טריגונומטריות שונות.
זהויות נספחות ולא רשומות בדף הנוסחאות: הסבר על זהויות טריגונומטריות נוספות שאינן מופיעות בדף הנוסחאות הרשמי אך חשוב לזכור ולהשתמש בהן בבחינת הבגרות.

תרגול קצר

הוכחת זהות טריגונומטרית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

הראה כי sin²(α) + cos²(α) = 1 לכל זווית α.

זהויות טריגונומטריותפיתגורסבסיס

רמז: השתמש בהגדרת סינוס וקוסינוס במשולש ישר זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: sin²(α) + cos²(α) = 1 לכל α

בסימון סינוס כיחס הניצב מול הזווית על היתר וקוסינוס כיחס הניצב הסמוך על היתר, מרובע הסכום שווה לאחת לפי משפט פיתגורס.

פישוט ביטוי טריגונומטרי עם טאנגנס

רמת קושי: בינוני

ממתין

פשט את הביטוי tan(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} והראה את תיפקודו.

טאנגנסהגדרת פונקציות טריגונומטריות

רמז: הצג את ההגדרה של טאנגנס כיחס בין סינוס לקוסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: tan(α) = sin(α) / cos(α)

לפי ההגדרה, טאנגנס הוא יחס הסינוס לקוסינוס, לכן tan(α) = sin(α) / cos(α).

הוכחה של זהויות טאנגנס וקוטאנגנס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראה הוכחה לנוסחה 1 + tan²(α) = 1 / cos²(α) ולהשליך ממנה את 1 + cot²(α) = 1 / sin²(α).

זהויות מתקדמותהוכחות

רמז: התחל מהזהות פיתגוריאנית הבסיסית ושייך את היחסים עם טאנג וקוטאנג.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1 + tan²(α) = 1 / cos²(α) ו-1 + cot²(α) = 1 / sin²(α)

מתחילים מ- sin²(α) + cos²(α) = 1 מחלקים את כל הביטוי ב- cos²(α) לקבלת 1 + tan²(α) = 1 / cos²(α). בדומה, מחלקים ב- sin²(α) לקבלת 1 + cot²(α) = 1 / sin²(α).

שימוש בזהויות טריגונומטריות בבגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

ה אם sin²(α) = 3/4, מהו ערך cos²(α)?

בגרותזהויות טריגונומטריותחישוב ערך

רמז: השתמש בזהויות פיתגוריאניות: sin²(α) + cos²(α) = 1

פתרון מלא

תשובה סופית: cos²(α) = 1/4

cos²(α) = 1 - sin²(α) = 1 - 3/4 = 1/4

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פישוט והוכחת זהות טריגונומטרית

הוכחת זהות פיתגוריאנית בסיסית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להראות שsin²(α) + cos²(α) = 1
נתון 1
סינוס של זווית α
נתון 2
קוסינוס של זווית α
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בהגדרות של סינוס וקוסינוס במשולש ישר זווית ולהבין את משפט פיתגורס
נוסחה
ביטויים של סינוס בריבוע וקוסינוס בריבוע בניסוח אורכי קטעים
sin בריבוע α = a בריבוע חלקי c בריבועcos בריבוע α = b בריבוע חלקי c בריבועsin²(α) = a² / c²cos²(α) = b² / c²^2() = (a^2)/(c^2), ^2() = (b^2)/(c^2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חבר את הביטויים וקבע את הסכום
חבר את הביטויים וקבע את הסכום
sin בריבוע α+ cos בריבוע α
תוצאה
מסיימים בתשובה
קבע כי הביטוי שווה 1 עבור כל זווית α

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדר סינוס וקוסינוס

מה עושים

הגדר סינוס α בתור היחס בין הניצב המול לזווית על היתר, וקוסינוס α בתור היחס בין הניצב הסמוך ליתר

למה

הגדרות אלה מאפשרות שימוש במשולש ישר כדי לקשר בין הפונקציות לגאומטריה

sin(α) = ניצב מול חלקי היתר, cos(α) = ניצב סמוך חלקי היתר

בחירת שיטה

השתמש במשפט פיתגורס במשולש ישר זווית

מה עושים

חשב את ריבוע האורך של היתר לפי ריבועי הניצבים

למה

המשפט קובע שיתר בריבוע הוא סכום ריבועי הניצבים במקום המתאים

מידה שאורך היתר הוא c, ואורכי הניצבים a ו-b, אז a² + b² = c²

בניית משוואה

רשום ביטויים עבור sin²(α) ו-cos²(α)

מה עושים

ביטויים של סינוס בריבוע וקוסינוס בריבוע בניסוח אורכי קטעים

למה

כל פונקציה היא יחס של אורך ולכן אפשר להציב לפי הגדרה

sin²(α) = (a/c)² = a² / c², cos²(α) = (b/c)² = b² / c²

נוסחה / הצבה

sin בריבוע α = a בריבוע חלקי c בריבועcos בריבוע α = b בריבוע חלקי c בריבועsin²(α) = a² / c²cos²(α) = b² / c²^2() = (a^2)/(c^2), ^2() = (b^2)/(c^2)

פתרון

חשבון סכום sin²(α) + cos²(α)

מה עושים

חבר את הביטויים וקבע את הסכום

למה

חיבור שני האחוזים מאפשר לקבל ביטוי שלם לפונקציות ביחד

(a² + b²) / c² = c² / c² = 1 לפי משפט פיתגורס

נוסחה / הצבה

sin בריבוע α+ cos בריבוע α= (a בריבוע+ b בריבוע) חלקי c בריבוע= 1

תשובה

קבלת התוצאה

מה עושים

קבע כי הביטוי שווה 1 עבור כל זווית α

למה

הוכחנו את הזהות הפיתגוריאנית הבסיסית

sin²(α) + cos²(α) = 1 נכון לכל זווית α בתחום ההגדרה

פתרונות כלליים

הוכחת זהות טריגונומטרית פשוטה: בסימון סינוס כיחס הניצב מול הזווית על היתר וקוסינוס כיחס הניצב הסמוך על היתר, מרובע הסכום שווה לאחת לפי משפט פיתגורס.
פישוט ביטוי טריגונומטרי עם טאנגנס: לפי ההגדרה, טאנגנס הוא יחס הסינוס לקוסינוס, לכן tan(α) = sin(α) / cos(α).
הוכחה של זהויות טאנגנס וקוטאנגנס: מתחילים מ- sin²(α) + cos²(α) = 1 מחלקים את כל הביטוי ב- cos²(α) לקבלת 1 + tan²(α) = 1 / cos²(α). בדומה, מחלקים ב- sin²(α) לקבלת 1 + cot²(α) = 1 / sin²(α).
שימוש בזהויות טריגונומטריות בבגרות: cos²(α) = 1 - sin²(α) = 1 - 3/4 = 1/4

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה

ניווט לפי נושאים

האלגברה של הטריגונומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להראות שsin²(α) + cos²(α) = 1

סינוס של זווית α

קוסינוס של זווית α

הרעיון המרכזי

ביטויים של סינוס בריבוע וקוסינוס בריבוע בניסוח אורכי קטעים

נבנה משוואה

חבר את הביטויים וקבע את הסכום

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדר סינוס וקוסינוס

השתמש במשפט פיתגורס במשולש ישר זווית

רשום ביטויים עבור sin²(α) ו-cos²(α)

חשבון סכום sin²(α) + cos²(α)

קבלת התוצאה

פתרונות כלליים