הנושא המרכזי בשיעור הוא זהויות טריגונומטריות הנוגעות לזווית כפולה, במיוחד זהויות הסינוס והקוסינוס, תוך דגש על שלוש הצורות של זהות הקוסינוס של שני אלפא. הוסבר הרעיון של יחס 2 ל-1 בזוויות ובנוסחאות, ולמדנו כיצד להשתמש בנוסחאות אלה בצורה נכונה ולהיזהר מטעויות נפוצות בפישוט והמרה.
להכיר ולכתוב את זהויות הסינוס והקוסינוס של זווית כפולה.
להבין את העיקרון של יחס 2 ל-1 בזוויות ופישוט נוסחאות טריגונומטריות.
לשלוט על שלוש האופציות השונות של נוסחת הקוסינוס של שני אלפא.
לתרגל פישוט ועבודה זהירה עם הזהויות כדי למנוע טעויות חישוביות.
להבין מתי ואיך ניתן להכפיל או לחלק במשוואה מבלי לשנות את היחס בין הזוויות והנוסחאות.
זהויות הסינוס והקוסינוס של זווית כפולה: הזהויות החשובות הן שסינוס של שני אלפא שווה ל-2 סינוס אלפא כפול קוסינוס אלפא, וקוסינוס של שני אלפא שווה ל-קוסינוס בריבוע אלפא פחות סינוס בריבוע אלפא, שיכולה להתבטא בשלוש אופציות שונות.
היחס 2 ל-1 בזוויות: כאשר ישנו ביטוי של זווית כפולה בצד אחד של המשוואה, אנו עוברים לזווית אחת בצד השני, כלומר משני אלפא אל אלפא, ומכאן השם 'יחס של 2 ל-1'.
עבודה נכונה עם הזהויות לתרגילים: יש חשיבות לזהירות בדיבור בהמרות זהויות ובהתאמות ביניהן. אי הקפדה על קבועים כמו 2 בביטויים גורמת לטעויות. שינויים בזוויות מחייבים התאמה מדויקת של הנוסחאות.

תרגול קצר

חישוב סינוס של זווית כפולה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את ערך סינוס של הזווית 2α כאשר sin α = 0.6 ו-cos α = 0.8.

זהויות טריגונומטריותסינוסזווית כפולה

רמז: השתמש בנוסחת sin(2α) = 2 sin α cos α.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0.96

נחשב לפי הנוסחה: sin(2α) = 2 × 0.6 × 0.8 = 2 × 0.48 = 0.96.

מציאת ערך קוסינוס של זווית כפולה דרך צורות שונות

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון cos α = 0.5, חשב את cos(2α) בשלוש הצורות השונות של נוסחת הקוסינוס של זווית כפולה.

קוסינוסזווית כפולהזהויות טריגונומטריות

רמז: השתמש בנוסחאות הבאות: 1. cos(2α) = cos² α − sin² α 2. cos(2α) = 2 cos² α − 1 3. cos(2α) = 1 − 2 sin² α מצא את sin α תחילה.

פתרון מלא

תשובה סופית: -0.5

ראשית מחשבים sin α מבנת הזהות sin² α + cos² α =1 sin α = sqrt(1 - 0.5²) = sqrt(1 - 0.25) = sqrt(0.75) ≈ 0.866 1. cos(2α) = 0.5² - 0.866² = 0.25 - 0.75 = -0.5 2. cos(2α) = 2 × 0.5² − 1 = 2 × 0.25 −1 = 0.5 − 1 = −0.5 3. cos(2α) = 1 − 2 × 0.866² = 1 − 2 × 0.75 = 1 − 1.5 = −0.5

פישוט ביטוי עם זוויות כפולות ומשולשות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פשט את הביטוי sin(3α) cos(3α) באמצעות זהויות כמו sin(2β) = 2 sin β cos β.

זהויות טריגונומטריותפישוטזווית כפולהזווית משולשת

רמז: זכור שניתן לסמן הביטוי בתור sin(2β) ו-N להשתמש בהגדרות זוויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/2) sin(6α)

sin(3α) cos(3α) = 1/2 sin(6α) באמצעות הזהות sin(2β) = 2 sin β cos β הפוכית משם β = 3α לכן, sin(3α) cos(3α) = 1/2 sin(6α)

פתרון משוואה עם זווית כפולה

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את המשוואה: cos(2x) = 0.5 כאשר x בין 0 ל-360 מעלות.

משוואות טריגונומטריותקוסינוסזווית כפולה

רמז: השתמש בזהות של cos(2x) ופתור את המשוואה הרגילה cos θ = 0.5.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ∈ {30°,150°,210°,330°}

cos(2x) = 0.5 נזכור ש-cos θ = 0.5 כאשר θ = 60°, 300° אז 2x = 60° + 360°k או 2x = 300° + 360°k כאשר k שלם נחלק ב-2: x = 30° + 180°k או x = 150° + 180°k מתחום 0 עד 360: x = 30°, 150°, 210°, 330°

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב sin(2α)

שימוש בנוסחת סינוס זווית כפולה

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא חשב את sin(2α)
נתון 1
נתון 1
sin α = מספר ידוע
נתון 2
נתון 2
cos α = מספר ידוע
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחה sin(2α) = 2 sin α cos α כדי למצוא את הערך המבוקש.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הציב את הערכים הנתונים לנוסחה שכתבת.
הציב את הערכים הנתונים לנוסחה שכתבת.
פישוט
חשב את המכפלה 2 × sin α × cos α.
חשב את המכפלה 2 × sin α × cos α.
תוצאה
מסיימים בתשובה
יש את ערך cos α נתון.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

לחשב את sin(2α)

מה עושים

נרצה למצוא את הערך של sin כפול זווית כפולה 2α.

למה

זו התוצאה הנדרשת בתרגיל.

זיהוי נתונים

נתון sin α

מה עושים

יש את ערך sin α נתון.

למה

הוא נחוץ לחישוב הנוסחה.

זיהוי נתונים

נתון cos α

מה עושים

יש את ערך cos α נתון.

למה

הוא חלק מהנוסחה לחישוב sin(2α).

בחירת שיטה

השתמש בנוסחת זהות זווית כפולה לסינוס

מה עושים

יש להשתמש בנוסחה sin(2α) = 2 sin α cos α.

למה

נוסחה זו מחברת בין הזווית הכפולה לסינוס וקוסינוס של הזווית הבסיסית.

נוסחה / הצבה

sin(2alpha) = 2 sin alpha cos alphasin(2α) = 2 sin α cos α(2) = 2

יש לוודא את הערכים של sin α ו-cos α נכונים.

בניית משוואה

כתוב את הנוסחה עם הערכים הנתונים

מה עושים

הציב את הערכים הנתונים לנוסחה שכתבת.

למה

כדי להתחיל את החישוב.

פתרון

חשב את המכפלה

מה עושים

חשב את המכפלה 2 × sin α × cos α.

למה

כדי לקבל את ערך sin(2α).

פתרונות כלליים

חישוב סינוס של זווית כפולה: נחשב לפי הנוסחה: sin(2α) = 2 × 0.6 × 0.8 = 2 × 0.48 = 0.96.
מציאת ערך קוסינוס של זווית כפולה דרך צורות שונות: ראשית מחשבים sin α מבנת הזהות sin² α + cos² α =1 sin α = sqrt(1 - 0.5²) = sqrt(1 - 0.25) = sqrt(0.75) ≈ 0.866 1. cos(2α) = 0.5² - 0.866² = 0.25 - 0.75 = -0.5 2. cos(2α) = 2 × 0.5² − 1 = 2 × 0.25 −1 = 0.5 − 1 = −0.5 3. cos(2α) = 1 − 2 × 0.866² = 1 − 2 × 0.75 = 1 − 1.5 = −0.5
פישוט ביטוי עם זוויות כפולות ומשולשות: sin(3α) cos(3α) = 1/2 sin(6α) באמצעות הזהות sin(2β) = 2 sin β cos β הפוכית משם β = 3α לכן, sin(3α) cos(3α) = 1/2 sin(6α)
פתרון משוואה עם זווית כפולה: cos(2x) = 0.5 נזכור ש-cos θ = 0.5 כאשר θ = 60°, 300° אז 2x = 60° + 360°k או 2x = 300° + 360°k כאשר k שלם נחלק ב-2: x = 30° + 180°k או x = 150° + 180°k מתחום 0 עד 360: x = 30°, 150°, 210°, 330°

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה

ניווט לפי נושאים

האלגברה של הטריגונומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא חשב את sin(2α)

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הציב את הערכים הנתונים לנוסחה שכתבת.

חשב את המכפלה 2 × sin α × cos α.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

לחשב את sin(2α)

נתון sin α

נתון cos α

השתמש בנוסחת זהות זווית כפולה לסינוס

כתוב את הנוסחה עם הערכים הנתונים

חשב את המכפלה

פתרונות כלליים