וידאו · האלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א6. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א9. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א10. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
זהות סינוס של זווית כפולה
רמת קושי: קל
הראה כי sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) על ידי שימוש בהגדרות הטריגונומטריות.
רמז: השתמש בנוסחאות הידועות של סינוס סכום זוויות.
תשובה סופית: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
נחשב sin(2α) כ sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α.
פישוט ביטוי סינוס וקוסינוס של זוויות מוכפלות
רמת קושי: בינוני
פשט את הביטוי: (sin(3α)/sin(α)) - (cos(3α)/cos(α))
רמז: עבוד עם מכנה משותף ונסה להשתמש בזהויות סכום-הפרש של סינוס.
תשובה סופית: 2 cos(2α)
הכפל למכנה משותף sin(α)cos(α) והפשט את המונה באמצעות זהות sin A cos B - cos A sin B = sin(A - B). לאחר פישוט מתקבל 2 cos(2α).
פישוט בזהויות טריגונומטריות לזווית כפולה
השתמש במכנה משותף ובהחלפת זהויות סכום-הפרש כדי לפשט את הביטוי.
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)(2) = 2 () ()בביטוי המשותף מסתמן הביטוי sin(3α)cos(α) - cos(3α)sin(α) במונה.
נציב את הביטוי המקורי לפישוט.
מחלקים 2 sin(α) cos(α) ב-sin(α) cos(α) ומקבלים 2.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נציב את הביטוי המקורי לפישוט.
למה
נבין את המבנה של הביטוי לפני שמתחילים לפשט.
הביטוי הוא נגזרת ישירה של זהויות טריגונומטריות עם זוויות מוכפלות.
בחירת שיטה
מה עושים
מכפילים כל אגף ב-sin(α)cos(α) כדי לקבל מכנה משותף.
למה
מכנה משותף יאפשר חיבור וחיסור בין השברים בקלות.
המאמץ להוציא ביטוי אחד פשוט במקום שבר ארוך.
שימו לב לא לשכוח להכפיל גם את המונה.
בניית משוואה
מה עושים
בביטוי המשותף מסתמן הביטוי sin(3α)cos(α) - cos(3α)sin(α) במונה.
למה
הביטוי דומה לזהות של sin(A-B), שאפשר להשתמש בה לפישוט.
הביטוי כולל את ההפרש של מכפלות סינוס וקוסינוס.
זיהוי זהות סכום-הפרש הוא המפתח לפישוט.
פתרון
מה עושים
נזהה sin(3α)cos(α) - cos(3α)sin(α) כ-sin(3α - α) = sin(2α).
למה
זה מאפשר להפשט את הביטוי לחלק הפשוט יותר sin(2α).
שימוש בזהות הבסיסית לחישוב סינוס של הפרש זוויות.
נוסחה / הצבה
sin(3α) cos(α) - cos(3α) sin(α) = sin(2α)sin(3α)cos(α) - cos(3α)sin(α) = sin(2α)(3)() - (3)() = (2)פתרון
מה עושים
הביטוי שהתקבל הוא sin(2α) חלקי sin(α)cos(α).
למה
כעת נשתמש בזהות לסינוס זווית כפולה להחליף את sin(2α)
החלפה בנוסחה sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).
נוסחה / הצבה
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)(2) = 2 () ()תשובה
מה עושים
מחלקים 2 sin(α) cos(α) ב-sin(α) cos(α) ומקבלים 2.
למה
הביטוי מתפשט ל-2 לאחר הצמצום.
כך הראינו שהביטוי שווה ל-2.