השיעור עוסק בשימוש בחוצים זווית במשולש כדי למצוא את רדיוס המעגל החסום באמצעות שיקולים גיאומטריים וטריגונומטריים, ללא שימוש בנוסחה מפורשת.
להבין כי מרכז המעגל החסום הוא נקודת מפגש חוצצי זווית במשולש
להכיר את התפקיד הכפול של חוצה הזווית כגובה ותיכון במשולש ישר זווית
לחשב את רדיוס המעגל החסום בעזרת טריגונומטרה (טנגנס) ונתוני זוויות ויחסים במשולש
להעריך דרכים לפתור תרגילים גיאומטריים הן באמצעות נוסחאות והן באמצעות שיקולים גיאומטריים
להבדיל בין דרכי פתרון שונות ולהבין את יתרונות וחסרונות כל שיטה
הגדרת מרכז המעגל החסום: המרכז הוא נקודת מפגש חוצצי הזווית במשולש.
פתרון באמצעות טריגונומטריה: חישוב רדיוס המעגל על ידי שימוש בערך טנגנס של הזווית וחישובים עם יחסי אורך צלעות.
חשיבות שימוש בנוסחאות מול שיקולים גיאומטריים: ניתוח יתרונות וחסרונות של פתרון ללא נוסחה מול פתרון עם נוסחה מוכרת.

תרגול קצר

חישוב רדיוס מעגל חסום במשולש עם זווית נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ישר זווית ישנה זווית של 75 מעלות. מצא את רדיוס המעגל החסום בלי להשתמש בנוסחה מוכרת, בהסתמך על שיקולים גיאומטריים וטריגונומטריה.

טריגונומטריהמעגל חסוםחוצה זוויתרדיוס מעגל

רמז: חשוב לזהות את חוצצי הזווית ולחשב את טנגנס של חצי הזווית, השתמש בנתון שקיבלנו לגבי צלע מסוימת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1.588

נתון זווית 75 מעלות. חצי הזווית הוא 37.5 מעלות. חושבים טנגנס 37.5°. משתמשים בנתון ש-K2=2.588 (קבוע נתון או מחושב קודם). הופכים את טנגנס חצי הזווית ומכפילים ב-2.588 כדי לקבל את הרדיוס R. חישוב הטנגנס מאשר כי R = 1.588.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לחשב רדיוס מעגל חסום במשולש

שימוש בחוצה זווית וטריגונומטריה ללא נוסחה מוכנה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא רדיוס המעגל החסום R
נתון 1
זווית במשולש היא 75 מעלות
נתון 2
נתון 2
קבוע K2/2 = 2.588 כפי שווה לטווח
רעיון
הרעיון המרכזי
שימוש בחוצצי זווית וחישוב טנגנס של חצי הזווית לקבלת רדיוס המעגל
נוסחה
מחשבים טנגנס של 37.5 מעלות
tan(37.5) = 0.7673tan(37.5)(37.5^())
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מכפילים את הטנגנס בערך 2.588
מכפילים את הטנגנס בערך 2.588
R = 0.7673 * 2.588R = tan(37.5)*2.588
תוצאה
מסיימים בתשובה
מסיקים כי רדיוס המעגל החסום הוא בערך 1.588

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

זיהוי נתוני הזווית

מה עושים

לקחת זווית ראשית של 75 מעלות במשולש

למה

הזווית שמהווה בסיס לחישובים הבאים

המשולש מכיל זווית ישרה וזווית נוספת של 75 מעלות

בחירת שיטה

חישוב חצי הזווית

מה עושים

מחלקים את הזווית הראשית ב-2

למה

כדי להשתמש בחצי הזווית בחישוב בטנגנס

75 חלקי 2 שווה 37.5 מעלות

חצי זווית משמשת בחישובי חוצצי זווית במשולשים

בניית משוואה

חישוב טנגנס חצי הזווית

מה עושים

מחשבים טנגנס של 37.5 מעלות

למה

מהווה את המשתנה הקריטי לחישוב הרדיוס

טנגנס 37.5 מעלות שווה כ-0.7673

נוסחה / הצבה

tan(37.5) = 0.7673tan(37.5)(37.5^())

פתרון

כפילת הטנגנס בקבוע

מה עושים

מכפילים את הטנגנס בערך 2.588

למה

הקבוע מייצג חציה של קטע במשולש ומשמש לחישוב רדיוס

0.7673 כפול 2.588 נותן את ערך הרדיוס R

נוסחה / הצבה

R = 0.7673 * 2.588R = tan(37.5)*2.588R = (37.5^()) x 2.588

הכפלה זו נותנת את רדיוס המעגל החסום

תשובה

קבלת התוצאה

מה עושים

מסיקים כי רדיוס המעגל החסום הוא בערך 1.588

למה

חישוב מספרי סופי המסמן את הרדיוס המבוקש

R ≈ 1.588 יחידות

פתרונות כלליים

חישוב רדיוס מעגל חסום במשולש עם זווית נתונה: נתון זווית 75 מעלות. חצי הזווית הוא 37.5 מעלות. חושבים טנגנס 37.5°. משתמשים בנתון ש-K2=2.588 (קבוע נתון או מחושב קודם). הופכים את טנגנס חצי הזווית ומכפילים ב-2.588 כדי לקבל את הרדיוס R. חישוב הטנגנס מאשר כי R = 1.588.

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. מציאת רדיוס מעגל חסום בטריגונומטריה בעזרת שיקולים גיאומטריים

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא רדיוס המעגל החסום R

זווית במשולש היא 75 מעלות

נתון 2

הרעיון המרכזי

מחשבים טנגנס של 37.5 מעלות

נבנה משוואה

מכפילים את הטנגנס בערך 2.588

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

זיהוי נתוני הזווית

חישוב חצי הזווית

חישוב טנגנס חצי הזווית

כפילת הטנגנס בקבוע

קבלת התוצאה

פתרונות כלליים