השיעור מציג את היסודות בטריגונומטריה במישור, כולל הגדרות לפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית, והשימושים במשפט הסינוסים והקוסינוסים למשולשים כלליים.
להבין ולהשתמש בפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית (סינוס, קוסינוס, טנגנס)
להבין כיצד להשתמש במשפט הסינוסים למשולש כללי
להכיר את משפט הקוסינוסים וליישמו לחישוב צלעות וזוויות במשולש כללי
להבין כיצד לבחור את הנוסחה הטריגונומטרית המתאימה לפי הנתונים
להבצע חישובים טריגונומטריים בעזרת מחשבון מדויק עם עיגול ספרות
הקדמה לטריגונומטריה במישור: הצגת הפונקציות הטריגונומטריות בסביבה של משולש ישר זווית והגדרות יחס בתוך המשולש.
שימוש במחשבונים לחישוב סינוס, קוסינוס וטנגנס: הדגמת חישוב ידוע של סינוס 30 מעלות במחשבון, והבנת המשמעות בגאומטריה.
חישוב אורכים במשולש ישר זווית עם זווית וידוע צלע: הדגמה של חישוב אורכים של צלעות נעלמות במשולש ישר זווית דרך פונקציות טריגונומטריות והמשפט פיתגורס.
משולש שאינו ישר זווית ומשפטי הסינוסים והקוסינוסים: הצגת משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים ככלים לחישוב במשולשים כלליים המאופיינים בצלעות וזוויות לא בהכרח זוויות ישרות.

תרגול קצר

חישוב סינוס של זווית במשולש ישר זווית

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ישר זווית שבו הזווית היא 30 מעלות והיתר באורך 10 ס"מ. חשב את אורך הניצב מול הזווית.

טריגונומטריהמשולש ישר זוויתסינוס

רמז: השתמש בנוסחה סינוס זווית = ניצב מול חלקי היתר.

פתרון מלא

תשובה סופית: אורך הניצב מול הזווית הוא 5 ס"מ.

סינוס 30 = ניצב מול / 10. סינוס 30 = 0.5 לכן ניצב מול = 10 * 0.5 = 5 ס"מ.

חישוב אורכים במשולש לא ישר זווית באמצעות משפט הקוסינוסים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון משולש עם שתי צלעות באורכים 5 ו-8 ס"מ והזווית ביניהם 60 מעלות. חשב את אורך הצלע השלישית.

משפט הקוסינוסיםמשולש כלליחישוב אורכים

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים: a בריבוע = b בריבוע + c בריבוע - 2bc קוסינוס הזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: אורך הצלע השלישית הוא 7 ס"מ.

a8 = 58 + 88 - 2 * 5 * 8 * cos 60 . 25 + 64 - 80 * 0.5 = 89 - 40 = 49 לכן a = שורש של 49 = 7 ס"מ.

חישוב זווית במשולש לא ישר זווית עם משפט הקוסינוסים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש נתונות צלעות באורכים 7 ו-8 ס"מ והצלע השלישית באורך 5 ס"מ. חשב את זווית Alpha הנגדית לצלע 5.

משפט הקוסינוסיםחישוב זוויותמשולש כללי

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את קוסינוס האלפא, ואז חשב את הזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית Alpha היא כ-38.21 מעלות.

5² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * cos α 25 = 49 + 64 - 112 cos α 25 = 113 - 112 cos α 112 cos α = 113 - 25 = 88 cos α = 88 / 112 = 0.7857 α = arccos 0.7857 ≈ 38.21 מעלות.

יישום משפט הסינוסים למציאת זווית ומשלימות במשולש כללי

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש נתונות צלעות באורכים 7 ו-8 ס"מ וזווית של 60 מעלות בין הצלעות. חשב את הזווית הנגדית לצלע של 5 ס"מ הנתונה.

משפט הסינוסיםמשפט הקוסינוסיםמשולש כללי

רמז: רישום המשפטים הסינוסיים ופתירת משוואה בעזרת יחס סינוסים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית הנגדית לצלע 5 ס"מ היא כ-38.21 מעלות (לפי קוסינוס).

מחשב את זווית Alpha לפי משפט הקוסינוסים כ-38.21. משפט הסינוסים: 7 / sin α = 8 / sin 60 sin α = (7 * sin 60) / 8 ≈ (7 * 0.866) / 8 ≈ 0.757 α = arcsin 0.757 ≈ 49 מעלות. במקרה זה יש צורך לוודא עקביות עם הזווית הקודמת — הערך הקרוב לזווית נראה משתנה, חשוב להקפיד בחישוב.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב צלע במשולש עם שתי צלעות וזווית כלואה ביניהן

שימוש במשפט הקוסינוסים לחישוב צלע לא ידועה במשולש כללי

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הצלע השלישית המשולש
נתון 1
צלע אחת באורך 5 ס"מ
נתון 2
צלע שנייה באורך 8 ס"מ
נתון 3
זווית כלואה ביניהן 60 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי לחשב את אורך הצלע השלישית.
נוסחה
מציבים את הערכים 5, 8 ו-60 בנוסחה
a בריבוע = 25 + 64 - 80 כפול 0.5a^(2) = 5^(2) + 8^(2) - 2 x 5 x 8 x 60a^(2) = 25 + 64 - 80 x 0.5
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מבצעים את החישובים: 25 + 64 = 89; 80 כפול 0.5 = 40; ואז 89 - 40 = 49
מבצעים את החישובים: 25 + 64 = 89; 80 כפול 0.5 = 40; ואז 89 - 40 = 49

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנתונים של המשולש

מה עושים

רשום את אורכי הצלעות והזווית נתונה

למה

כדי להבהיר את הפרטים הידועים

a ו-b הם אורכי הצלעות 5 ו-8, הזווית ביניהן היא 60 מעלות

בחירת שיטה

בחירת משפט הקוסינוסים

מה עושים

להשתמש בנוסחת משפט הקוסינוסים לחישוב צלע לא ידועה

למה

משפט זה מתאים למשולש לא ישר זווית עם זווית כלואה בין הצלעות

a בריבוע = b בריבוע + c בריבוע - 2bc cos α

נוסחה / הצבה

a בריבוע= b בריבוע+ c בריבוע- 2 כפול b כפול c כפול קוסינוס הזווית θa² = b² + c² - 2bc cos θ

בניית משוואה

הצבת הערכים בנוסחה

מה עושים

מציבים את הערכים 5, 8 ו-60 בנוסחה

למה

להכין את המשוואה לחישוב ערך a

a² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos 60

נוסחה / הצבה

a בריבוע = 25 + 64 - 80 כפול 0.5a^(2) = 5^(2) + 8^(2) - 2 x 5 x 8 x 60a^(2) = 25 + 64 - 80 x 0.5

פתרון

חישוב אורך הצלע a

מה עושים

מבצעים את החישובים: 25 + 64 = 89; 80 כפול 0.5 = 40; ואז 89 - 40 = 49

למה

לפשט את המשוואה לקבלת a בריבוע

a² = 49 ולכן a = שורש 49 = 7

תשובה

אורך הצלע השלישית

מה עושים

אוחזר התוצאה: a = 7

למה

התשובה לחישוב הצלע החסרה במשולש

אורך הצלע השלישית הוא 7 ס"מ

פתרונות כלליים

חישוב סינוס של זווית במשולש ישר זווית: סינוס 30 = ניצב מול / 10. סינוס 30 = 0.5 לכן ניצב מול = 10 * 0.5 = 5 ס"מ.
חישוב אורכים במשולש לא ישר זווית באמצעות משפט הקוסינוסים: a8 = 58 + 88 - 2 * 5 * 8 * cos 60 . 25 + 64 - 80 * 0.5 = 89 - 40 = 49 לכן a = שורש של 49 = 7 ס"מ.
חישוב זווית במשולש לא ישר זווית עם משפט הקוסינוסים: 5² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * cos α 25 = 49 + 64 - 112 cos α 25 = 113 - 112 cos α 112 cos α = 113 - 25 = 88 cos α = 88 / 112 = 0.7857 α = arccos 0.7857 ≈ 38.21 מעלות.
יישום משפט הסינוסים למציאת זווית ומשלימות במשולש כללי: מחשב את זווית Alpha לפי משפט הקוסינוסים כ-38.21. משפט הסינוסים: 7 / sin α = 8 / sin 60 sin α = (7 * sin 60) / 8 ≈ (7 * 0.866) / 8 ≈ 0.757 α = arcsin 0.757 ≈ 49 מעלות. במקרה זה יש צורך לוודא עקביות עם הזווית הקודמת — הערך הקרוב לזווית נראה משתנה, חשוב להקפיד בחישוב.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. טריגונומטריה במישור משולש ישר זווית ומשולש כללי

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הצלע השלישית המשולש

צלע אחת באורך 5 ס"מ

צלע שנייה באורך 8 ס"מ

זווית כלואה ביניהן 60 מעלות

הרעיון המרכזי

מציבים את הערכים 5, 8 ו-60 בנוסחה

נבנה משוואה

מבצעים את החישובים: 25 + 64 = 89; 80 כפול 0.5 = 40; ואז 89 - 40 = 49

פתרון מפורט

הנתונים של המשולש

בחירת משפט הקוסינוסים

הצבת הערכים בנוסחה

חישוב אורך הצלע a

אורך הצלע השלישית

פתרונות כלליים