וידאו · אי שוויון
א4. פתרון אי שוויון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון אי שוויונות שמכילים מונה ומכנה, תוך התייחסות לחשיבות הניתוח של מתי המונה שווה ל-0, מתי המחנה שווה ל-0 ואיסור על חלוקה באפס. מוסבר תהליך הפתרון באמצעות מיפוי נקודות עצירה ופתרון תבנית אי שוויון תוך שמירה על תווניות המטרה.
- להבין את המושגים מונה, מחנה והקשר ביניהם באי שוויון.
- לזהות מתי המונה והמחנה שווים לאפס.
- לפתור אי שוויונות של מונה חלקי מחנה.
- להשתמש במכנה משותף במקום לכפול באגף במקרים מסוימים.
- לזהות שגיאות נפוצות בפתרון אי שוויונות מסוג זה.
- לשמור על טיפול נכון בתנאי תחום ותווניות המטרה.
- הגדרת אי שוויון מונה ומחנה: אי שוויון שבו יש חלקות של פונקציות, עם מונה ומחנה, כאשר יש חשיבות למתי המונה שווה לאפס ולמתי המחנה שווה לאפס.
- פתרון אי שוויון בדרך נכונה: הליך שבו משווים מונה ל-0, מחנה ל-0, ומגדירים את תחום ההגדרה ומיפה נקודות מפסיקות, תוך טיפול נכון באי שוויון וחלוקה בבחינת הסימנים.
תרגול קצר
פתרון אי שוויון פשוט מונה ומחנה
רמת קושי: קל
פתור את אי השוויון הבא: (x-2)/(x+3) <= 0
רמז: קבע מתי המונה שווה ל-0, ומתי המחנה שווה לאפס, סמן נקודות עצירה, ומצא בתחום אילו ערכים האי שוויון מתקיים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x≥-3 ו-x≤2, אך x≠-3
1. המונה שווה 0 כאשר x=2. 2. המחנה שווה 0 כאשר x=-3 (תחום ההגדרה ללא זה). 3. סמן מספרים על ציר המספרים: -3 ו-2. 4. בדוק ערכים באינטראלים (-∞,-3), (-3,2), (2,∞) בסימן האי שוויון. 5. תוצאה היא x בין -3 ל-2 כולל נקודות שבהן האי שוויון שווה ל-0 (שאינו כולל את -3).
פתרון אי שוויון מורכב מונה ומחנה
רמת קושי: בינוני
פתור את האי שוויון הבא: (x^2 - 4x +4)/(x^2 - 1) < 0
רמז: פרק את הפולינומים למכפלות, מצא נקודות אפס, הזן תחום הגדרה, ונתח את סימני הפונקציה באזורים בין הנקודות.
פתרון מלא
תשובה סופית: -1 < x < 1
1. המונה: x^2 -4x+4 = (x-2)^2 =0 כש-x=2. 2. המחנה: x^2 -1 = (x-1)(x+1)=0 כש-x=1 או x=-1. 3. תחום ההגדרה x ≠ ±1. 4. סמן על הציר: -1,1,2. 5. בדוק ערכים בכל אינטרвал (-∞,-1), (-1,1), (1,2), (2,∞) יחסית למספריות של האי שוויון. 6. ניתוח הסימנים מראה שפתרון הוא x ב-( -1,1 ) חוץ מ-1 ו- -1.
פתרון אי שוויון מונה ומחנה - שאלון 481
רמת קושי: בגרות
פתור את אי השוויון הבא: (x^2 -4x +4)/(x + 5) ≤ 0
רמז: מצא מתי המונה שווה ל-0, ומתי המחנה שווה ל-0. צייר את נקודות העצירה, בדוק סימני להיות קטן או שווה, ושמור על תחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: -5 < x ≤ 2
1. המונה שווה 0 כש-x=2. 2. המחנה שווה 0 כש-x=-5 (אסור להתאפס שם). 3. סמן על ציר המספרים: -5 ו-2. 4. בחר טסטים באזור (-∞,-5), (-5,2), (2,∞). 5. בדוק אתה האי שוויון מתקיים עבור הטסטים בהתאם לסימנים. 6. הפתרון הוא: x ב[-5,2], אך לא כולל את x=-5.
דרך הפתרון
פתרון אי שוויון של מונה ומחנה
דוגמה: פתרון אי שוויון (x-2)/(x+3) ≤ 0
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x שמקיימים את האי שוויון
- נתון 1
אי שוויון מחלקי: (x-2)/(x+3) ≤ 0
- רעיון
הרעיון המרכזי
קבע מתי המונה שווה ל-0, מתי המחנה שווה ל-0, צייר נקודות עצירה, נתח את סימני הביטוי בכל תחום,
- נוסחה
פתור x-2=0 ו-x+3=0.
x-2=0x+3=0 - משוואה
בחר מספרים בטווחים (-∞,-3), (-3,2), (2,∞) לבדיקה.
בחר מספרים בטווחים (-∞,-3), (-3,2), (2,∞) לבדיקה.
- פישוט
הצבן מספרים בטווח וחישב את סימן הביטוי.
הצבן מספרים בטווח וחישב את סימן הביטוי.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
כתוב את התוצאה x∈(-3,2] כאשר x≠-3.
x > -3x ≤ 2 - בדיקה
בדיקה קצרה
- האם נקודות העצירה נמצאות ומסומנות בבירור?
- האם נבדקו סימני הפונקציה בכל תחום?
- זהירות: כפל באגף במכנה בלי לשים לב להפיכת האי שוויון.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת האי שוויון
זיהוי נתונים
הגדרת האי שוויון
מה עושים
כתוב את האי שוויון (x-2)/(x+3) ≤ 0.
למה
כדי להבין מה נדרש לפתור ולהכיר את הפונקציה.
2זיהוי נתונים
מצא נקודות שוויון למונה ולמחנה
זיהוי נתונים
מצא נקודות שוויון למונה ולמחנה
מה עושים
פתור x-2=0 ו-x+3=0.
למה
נקודות אלו מגדירות נקודות עצירה ותחום הגדרה.
נוסחה / הצבה
x-2=0x+3=0נקודות אלו חשובות לניתוח תחום הפתרון.
3בחירת שיטה
קבע תחומי סימן על ציר המספרים
בחירת שיטה
קבע תחומי סימן על ציר המספרים
מה עושים
סמן את נקודות ה-x=2 ו-x=-3 על ציר מספרים.
למה
כדי לבדוק בין אילו נקודות הביטוי חיובי או שלילי.
הצבת נקודות בינהם תעזור לקבוע את סימן הפונקציה.
4בניית משוואה
הכן טווחי בדיקה
בניית משוואה
הכן טווחי בדיקה
מה עושים
בחר מספרים בטווחים (-∞,-3), (-3,2), (2,∞) לבדיקה.
למה
כדי לבדוק את הסימן של הביטוי בכל תחום.
לקחת מספר פשוט בכל תחום.
5פתרון
בדוק סימנים בטווחים
פתרון
בדוק סימנים בטווחים
מה עושים
הצבן מספרים בטווח וחישב את סימן הביטוי.
למה
לברר איפה נמלא האי שוויון.
אם הביטוי ≤ 0, אז התחום מתאים.
6תשובה
קבע את תחום הפתרון
תשובה
קבע את תחום הפתרון
מה עושים
כתוב את התוצאה x∈(-3,2] כאשר x≠-3.
למה
כי המחנה לא יכול להיות 0 ולכן -3 לא כלול, ו-2 כן כי המונה נותן 0 שמקיים אי שוויון שווה.
נוסחה / הצבה
x > -3x ≤ 2לוודא הכל שייך לתחום ההגדרה.
פתרונות כלליים
- פתרון אי שוויון פשוט מונה ומחנה: 1. המונה שווה 0 כאשר x=2. 2. המחנה שווה 0 כאשר x=-3 (תחום ההגדרה ללא זה). 3. סמן מספרים על ציר המספרים: -3 ו-2. 4. בדוק ערכים באינטראלים (-∞,-3), (-3,2), (2,∞) בסימן האי שוויון. 5. תוצאה היא x בין -3 ל-2 כולל נקודות שבהן האי שוויון שווה ל-0 (שאינו כולל את -3).
- פתרון אי שוויון מורכב מונה ומחנה: 1. המונה: x^2 -4x+4 = (x-2)^2 =0 כש-x=2. 2. המחנה: x^2 -1 = (x-1)(x+1)=0 כש-x=1 או x=-1. 3. תחום ההגדרה x ≠ ±1. 4. סמן על הציר: -1,1,2. 5. בדוק ערכים בכל אינטרвал (-∞,-1), (-1,1), (1,2), (2,∞) יחסית למספריות של האי שוויון. 6. ניתוח הסימנים מראה שפתרון הוא x ב-( -1,1 ) חוץ מ-1 ו- -1.
- פתרון אי שוויון מונה ומחנה - שאלון 481: 1. המונה שווה 0 כש-x=2. 2. המחנה שווה 0 כש-x=-5 (אסור להתאפס שם). 3. סמן על ציר המספרים: -5 ו-2. 4. בחר טסטים באזור (-∞,-5), (-5,2), (2,∞). 5. בדוק אתה האי שוויון מתקיים עבור הטסטים בהתאם לסימנים. 6. הפתרון הוא: x ב[-5,2], אך לא כולל את x=-5.