וידאו · אי שוויון
א3. פתרון אי שוויון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בשיטות פתרון אי שוויונות המכילות מכפלות, תוך שימוש בשיטת הקטעים (שיטת האינטרוול) להצבה בערכים ובחינת סימני הביטוי, כולל דוגמות עם פרבולות, פונקציות מעריכיות ולוגריתם.
- הבנת שיטת הקטעים לפתרון אי שוויונות המכילות מכפלות
- שימוש בהצבות ערכים ובדיקת סימני הביטוי
- פירוק פורמולות והבנת נקודות אפס
- פתרון אי שוויונות המכילות פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- ניצול כלי המחשבון להצבת ערכים ולבחינת סימנים
- אי שוויונות עם מכפלות ושיטת הקטעים: הסבר על הצורך לפתור אי שוויונות המורכבים ממכפלות, פירוק לאפסים, והצבת ערכים בנקודות תחום בין האפסים לשם בדיקת סימני הביטוי על ידי שיטת הקטעים.
- אי שוויונות עם פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הסבר בסיסי על פתרון משוואות ואי שוויונות הכוללות פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיצד לפרק ולפתור לכל פונקציה בנפרד, ולבחון את הפתרון באמצעות חישובים לוגריתמיים.
תרגול קצר
פתרון אי שוויון עם פרבולה ומכפלה
רמת קושי: קל
פתור את האי שוויון: (x^2 - 5x + 6)(x - 4) ≤ 0
רמז: חלק את הביטוי לאפסים ונתח את הסימנים בכל תחום בין האפסים
פתרון מלא
תשובה סופית: x בין 3 ל-4 כולל
פונקציית הפרבולה מתאפסות ב- x=2 ו- x=3. נקודת האפס של הקו הישר היא x=4. חלק את ציר המספרים לאינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞). הצב מספרים בכל תחום ובחן את סימן המכפלה. הפתרון הוא הערכים בהם הביטוי קטן או שווה לאפס.
אי שוויון מעריכי ולוגריתמי
רמת קושי: בינוני
פתור את האי שוויון: e^(x - 2) * 5^(x - 3) ≤ 0
רמז: פתור כל פונקציה בנפרד, מצא את נקודות האפס, נסה להשוות למדד 0
פתרון מלא
תשובה סופית: אין ערך אמיתי המקיים את אי השוויון למעט אפס ככל הנראה (או יש לסמן שאין פתרון)
צא מנקודת האפס של e בחזקת משהו הוא לעולם חיובי, ולכן לא מתאפס, אך 5^(x - 3) יכול להתייחס לאפס. נקודת אפס של המכפלה היא כאשר 5^(x -3) שווה 0, אך 5^(x - 3) אף פעם לא 0. לכן, יש לבדוק רק את ערך המכפלה אם הוא קטן או שווה אפס, ותוצאותיו על סימני הפונקציות.
בדיקת סימני ביטוי עם לוגריתמיים ומכפלות
רמת קושי: מאתגר
פתור את אי השוויון: e^x - 2 < 0 ו- 5^x - 3 < 0 במקביל
רמז: מצא את נקודות החיתוך באמצעות לוגריתמים והשווה בין הערכים
פתרון מלא
תשובה סופית: x < 0.683
משוואה ראשונה: e^x - 2 < 0 ⇒ e^x < 2 ⇒ x < ln(2) ≈ 0.693. משוואה שנייה: 5^x - 3 < 0 ⇒ 5^x < 3 ⇒ x < log5(3) ≈ 0.683. לכן, האזור בו שני האי שוויונות תקפים הוא x < 0.683.
פתרון אי שוויון עם שיטת הקטעים ומכפלות
רמת קושי: בגרות
פתור את האי שוויון (x^2 - 4x + 4)(x - 2) ≤ 0
רמז: פירוק לביטוי ריבועי וניתוח סימנים בשיטת הקטעים
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 2
x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2. נקודת הפס היא x=2. ציר המספרים מחולק לקטע (-∞,2) ו-(2,∞).בדיקת סימנים מציגה שהביטוי לעולם לא שלילי כי x=2 משווה לאפס והביטוי ריבועי. לכן, הפתרון הוא x=2.
דרך הפתרון
פתרון אי שוויון עם מכפלה פרבולה וקו ישר
(x² - 5x + 6)(x - 4) קטן שווה לאפס
מפת פתרון
- מטרה
למצוא x שמקיים את האי שוויון
- נתון 1
(x² - 5x + 6)(x - 4) ≤ 0
- רעיון
הרעיון המרכזי
מציאת נקודות האפס, חלוקת ציר המספרים לאינטרוולים, ובדיקה מהו סימן הביטוי בכל אינטרוול.
- נוסחה
הצג את הפתרון כהערכים בהם הביטוי ≤ 0
x תחום בין 3 ל-4 כוללx [3,4] - משוואה
קבע אינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞)
קבע אינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞)
- פישוט
הצבת ערך מכל תחום בביטוי ובדיקת סימן התוצאה
הצבת ערך מכל תחום בביטוי ובדיקת סימן התוצאה
- תוצאה
מסיימים בתשובה
יש פתרון לאי שוויון המכיל מכפלה של שני ביטויים פולינומיים
- בדיקה
בדיקה קצרה
- פרק את הפולינומים לאפסים
- בחר נקודות בדיקה בכל תחום
- זהירות: לא לפרק את הפולינומים נכון
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הביטוי
זיהוי נתונים
נתוני הביטוי
מה עושים
יש פתרון לאי שוויון המכיל מכפלה של שני ביטויים פולינומיים
למה
מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס
הביטוי המחובר הוא (x^2 - 5x + 6)(x - 4) ≤ 0
2בחירת שיטה
מציאת נקודות האפס
בחירת שיטה
מציאת נקודות האפס
מה עושים
פשוט כל גורם שווה לאפס
למה
הנקודות שמהן מחולקים התחומים לפתרון
x^2 - 5x + 6 שווה לאפס ב-x=2 או x=3, ו-x-4=0 ב-x=4
נוסחה / הצבה
x בריבוע מינוס 5x ועוד 6 שווה 0x מינוס 4 שווה 0x^2 - 5x + 6 = 0x - 4 = 0x^2 - 5x + 6 = 0 x - 4 = 0פקטורו את הריבוע כדי למצוא שורשים מדויקים
3בניית משוואה
חלוקת ציר המספרים לאינטרוולים
בניית משוואה
חלוקת ציר המספרים לאינטרוולים
מה עושים
קבע אינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞)
למה
לא ניתן לדעת סימן מכפלה ללא בדיקת אינטרולים אלו
הציר נחלק בין נקודות האפס שגילינו
בחר נקודות בדיקה בכל אינטרוול
4פתרון
בדיקת סימנים באינטרוולים
פתרון
בדיקת סימנים באינטרוולים
מה עושים
הצבת ערך מכל תחום בביטוי ובדיקת סימן התוצאה
למה
למצוא היכן המכפלה שלילית או אפס
בין 3 ל-4 הביטוי שלילי או אפס, בשאר התחומים חיובי
אל תעשה הנחות על סימני המכפלה, בצע בדיקה בפועל
5תשובה
תשובת האי שוויון
תשובה
תשובת האי שוויון
מה עושים
הצג את הפתרון כהערכים בהם הביטוי ≤ 0
למה
פתרון האי שוויון הוא התחום בו הביטוי קטן או שווה לאפס
פתרון: x ∈ [3,4]
נוסחה / הצבה
x תחום בין 3 ל-4 כוללx [3,4]שים לב לכלול את נקודות האפס אם אפשרי לפי אי שוויון ≤
פתרונות כלליים
- פתרון אי שוויון עם פרבולה ומכפלה: פונקציית הפרבולה מתאפסות ב- x=2 ו- x=3. נקודת האפס של הקו הישר היא x=4. חלק את ציר המספרים לאינטרוולים: (-∞,2), (2,3), (3,4), (4,∞). הצב מספרים בכל תחום ובחן את סימן המכפלה. הפתרון הוא הערכים בהם הביטוי קטן או שווה לאפס.
- אי שוויון מעריכי ולוגריתמי: צא מנקודת האפס של e בחזקת משהו הוא לעולם חיובי, ולכן לא מתאפס, אך 5^(x - 3) יכול להתייחס לאפס. נקודת אפס של המכפלה היא כאשר 5^(x -3) שווה 0, אך 5^(x - 3) אף פעם לא 0. לכן, יש לבדוק רק את ערך המכפלה אם הוא קטן או שווה אפס, ותוצאותיו על סימני הפונקציות.
- בדיקת סימני ביטוי עם לוגריתמיים ומכפלות: משוואה ראשונה: e^x - 2 < 0 ⇒ e^x < 2 ⇒ x < ln(2) ≈ 0.693. משוואה שנייה: 5^x - 3 < 0 ⇒ 5^x < 3 ⇒ x < log5(3) ≈ 0.683. לכן, האזור בו שני האי שוויונות תקפים הוא x < 0.683.
- פתרון אי שוויון עם שיטת הקטעים ומכפלות: x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2. נקודת הפס היא x=2. ציר המספרים מחולק לקטע (-∞,2) ו-(2,∞).בדיקת סימנים מציגה שהביטוי לעולם לא שלילי כי x=2 משווה לאפס והביטוי ריבועי. לכן, הפתרון הוא x=2.