וידאו · נקודות קיצון
א4. מציאת קיצון על פונקצית מנה עם שורש
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על מציאת נקודות קיצון בפונקציות שמכילות מנה ושורש, עם דגש על תחום ההגדרה, גזירת פונקציות כאלה ופתרון המשוואות לנקודות קיצון.
- להבין תחומי הגדרה של פונקציות עם שורש ומכנה
- ליישם את כלל הגזירה לפונקציות מנה עם שורש
- לפתור משוואות נגזרת שווה אפס למציאת נקודות קיצון
- להבין מתי נקודות קיצון קיימות או לא קיימות
- להפנים את החשיבות של תחום ההגדרה בהסקת מסקנות
- תחומי הגדרה בפונקציות עם שורש ומכנה: יש לוודא כי המכנה שונה מאפס, ובמקרה של שורש במכנה - שהביטוי תחת השורש גדול מאפס. תחום ההגדרה חשוב במיוחד כדי למנוע טעויות במסקנות לגבי נקודות הקיצון.
- טריקים בעבודה עם שורשים ומכנה: כדאי לזכור שורש X כפול שורש X שווה X כדי לפשט ביטויים ולבצע גזירה ואלגברה בצורה יעילה יותר.
- תהליך הגזירה והפתרון: מיישמים את כלל המנה לגזירת הפונקציה, מייצרים משוואה של הנגזרת שווה לאפס, מסדרים ומשווים לאפס, לתוך תחום ההגדרה המותאם. נבחן גם האם הפתרונות שייכים לתחום ההגדרה.
תרגול קצר
תחום ההגדרה לפונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (3x) / sqrt(x-1). קבע את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: המכנה הוא שורש ולכן הביטוי תחת השורש חייב להיות גדול מ-0.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x > 1
כדי שהפונקציה תקיים ערכים, יש ש: x-1 > 0 כלומר x > 1. בנוסף, שורש במכנה לא יכול להיות אפס, ולכן לא כולל את x=1.
גזור פונקציה מנה עם שורש במכנה
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה f(x)= (2x+1) / sqrt(x).
רמז: השתמש בכלל המנה ונגזרת של שורש x היא 1/(2*sqrt(x)).
פתרון מלא
תשובה סופית: (2 sqrt(x) - (2x+1)/(2 sqrt(x))) / x
נגדיר f=2x+1, g=sqrt(x). f' = 2, g' = 1/(2 sqrt(x)). לכן: f'(x) = (f'g - fg') / g^2 = (2 * sqrt(x) - (2x+1) * 1/(2 sqrt(x))) / (sqrt(x))^2 = (2 sqrt(x) - (2x+1)/(2 sqrt(x))) / x נצמצם ונפשט בהתאם.
מצא נקודות קיצון של פונקציה מורכבת
רמת קושי: מאתגר
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = (3x) / (2 - sqrt(x)) בתחום ההגדרה שלה.
רמז: קבע תחום הגדרה, גזור בעזרת כלל המנה, פתר משוואת הנגזרת לאפס, בדוק שהפתרונות בתחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x הנמצאים בתחום ההגדרה לאחר פתרון המשוואה
תחום הגדרה: sqrt(x) שונה מ-2 ⇒ x ≠ 4, ובהנחה ש-x ≥ 0 בגלל השורש. כדי לגזור נשתמש בכלל המנה עם f=3x ו- g=2 - sqrt(x). נגזור f' = 3 נגזור g' = - (1 / (2 sqrt(x))) נגזרת היא (3 * (2 - sqrt(x)) - 3x * (-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2 נצמצם ונשווה לאפס, נפתור ונקבל פתרונות. לאחר מכן נבדוק אם הם בתחום ההגדרה. (מכיוון שלפירוט מלא השיעור, נדרש פתרון בהנחיה).
מציאת נקודות קיצון ומציאת תחום הגדרה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = (3x) / (2 - sqrt(x)). א) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב) נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בהתאם לתחום ההגדרה.
רמז: א) הביטוי במכנה שונה מאפס. ב) גזור לפי כלל המנה, השווה לאפס, ופתור תוך כדי בדיקת תחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: [0,4) ∪ (4,∞). נקודות קיצון לפי פתרון משוואת הנגזרת בתחום.
א) תחום ההגדרה הוא כל x≥0 כך ש-2 - sqrt(x) ≠ 0, כלומר sqrt(x) ≠ 2 ⇒ x ≠4. לכן תחום ההגדרה: [0,4) ∪ (4,∞). ב) נגדיר f=3x, g=2 - sqrt(x). נגזור ונשווה את הנגזרת לאפס: נגזרת f'=3 נגזרת g' = -1/(2 sqrt(x)) נגזרת הפונקציה היא: (3*(2 - sqrt(x)) - 3x*(-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2 פשטו את הנגזרת והשוו לאפס כדי למצוא x. בדקו אם הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה. בסיום נאמר אם קיימות נקודות קיצון או לא בהתאם לתחום. (ניתן להמציא פירוט נוסף לפי רמת הכיתה).
דרך הפתרון
מפת פתרון למציאת נקודות קיצון בפונקציה עם שורש ומנה
שלבים פשוטים למציאת נקודות קיצון נכונות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות קיצון של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = 3x / (2 - sqrt(x)) - נתון 2
תחום ההגדרה: x ≥ 0, 2 - sqrt(x) ≠ 0
- רעיון
הרעיון המרכזי
גזור את הפונקציה לפי כלל המנה, השווה את הנגזרת לאפס, פתר את המשוואה ובחן את הפתרונות לפי תחום
- נוסחה
נכתוב את הנגזרת לפי כלל המנה ונפשט אותה.
(3*(2 - sqrt(x)) - 3x*(-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2 - משוואה
השווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה שקבלת.
השווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה שקבלת.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק אם הפתרונות שמצאתם נמצאים בתחום ההגדרה שקבעת מקודם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
קביעת תחום ההגדרה
זיהוי נתונים
קביעת תחום ההגדרה
מה עושים
קבע את תנאי ההגדרה מהשורש ומהמכנה כדי להימנע מחילוק באפס וערכים לא מוגדרים.
למה
תחום ההגדרה מגדיר איפה הפונקציה קיימת ולכן איפה ניתן לחפש נקודות קיצון.
x ≥ 0 (מן השורש), ו-2 - sqrt(x) ≠ 0 כלומר sqrt(x) ≠ 2 ⇒ x ≠ 4.
שימו לב שסילוק נקודות מהתחום הוא חיוני.
2בחירת שיטה
חישוב נגזרת הפונקציה
בחירת שיטה
חישוב נגזרת הפונקציה
מה עושים
השתמש בכלל המנה לגזירת פונקציה מנה עם שורש.
למה
הנגזרת משמשת למציאת קיצונים בהם השיפוע 0.
f = 3x g = 2 - sqrt(x) נגזרות: f' = 3, g' = -1/(2 sqrt(x))
בסקלת הטריק עם שורש מוכר חשוב לזכור תמיד להביא לשורש כפול שורש.
3בניית משוואה
הרכבת משוואת הנגזרת
בניית משוואה
הרכבת משוואת הנגזרת
מה עושים
נכתוב את הנגזרת לפי כלל המנה ונפשט אותה.
למה
יש ליצור משוואה שניתן לפתור כדי למצוא נקודות אפס של הנגזרת.
f'(x) = (3*(2 - sqrt(x)) - 3x*(-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2
נוסחה / הצבה
(3*(2 - sqrt(x)) - 3x*(-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2שמרו על סדר פעולות נכון.
4פתרון
פתירת המשוואה לנקודות קיצון
פתרון
פתירת המשוואה לנקודות קיצון
מה עושים
השווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה שקבלת.
למה
נמצאים את ערכי ה-x בה הפונקציה נוטה למקסימום או מינימום.
השווה למספר 0 ופתור: 3*(2 - sqrt(x)) + (3x)/(2 sqrt(x)) = 0 מכאן נמצא את x.
השתמש בטריק דארטי לשורשים והצע את ביטוי השורש כפול שורש.
5בדיקה
בדיקת פתרונות בתחום ההגדרה
בדיקה
בדיקת פתרונות בתחום ההגדרה
מה עושים
בדוק אם הפתרונות שמצאתם נמצאים בתחום ההגדרה שקבעת מקודם.
למה
פתרונות מחוץ לתחום ההגדרה לא יכולים להיות נקודות קיצון אמיתיות.
הסר פתרונות בהם x < 0 או x = 4.
חשוב לוודא פתרונות תקפים בלבד.
6תשובה
סיכום נקודות הקיצון
תשובה
סיכום נקודות הקיצון
מה עושים
ציין את נקודות הקיצון על פי הפתרונות המתאימים בתחום.
למה
סיכום הפתרון נותן מענה לשאלה הראשית.
נקודות קיצון הן הפתרונות התקפים שהתקבלו לאחר הסינון של תחום ההגדרה.
פתרונות כלליים
- תחום ההגדרה לפונקציה עם שורש במכנה: כדי שהפונקציה תקיים ערכים, יש ש: x-1 > 0 כלומר x > 1. בנוסף, שורש במכנה לא יכול להיות אפס, ולכן לא כולל את x=1.
- גזור פונקציה מנה עם שורש במכנה: נגדיר f=2x+1, g=sqrt(x). f' = 2, g' = 1/(2 sqrt(x)). לכן: f'(x) = (f'g - fg') / g^2 = (2 * sqrt(x) - (2x+1) * 1/(2 sqrt(x))) / (sqrt(x))^2 = (2 sqrt(x) - (2x+1)/(2 sqrt(x))) / x נצמצם ונפשט בהתאם.
- מצא נקודות קיצון של פונקציה מורכבת: תחום הגדרה: sqrt(x) שונה מ-2 ⇒ x ≠ 4, ובהנחה ש-x ≥ 0 בגלל השורש. כדי לגזור נשתמש בכלל המנה עם f=3x ו- g=2 - sqrt(x). נגזור f' = 3 נגזור g' = - (1 / (2 sqrt(x))) נגזרת היא (3 * (2 - sqrt(x)) - 3x * (-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2 נצמצם ונשווה לאפס, נפתור ונקבל פתרונות. לאחר מכן נבדוק אם הם בתחום ההגדרה. (מכיוון שלפירוט מלא השיעור, נדרש פתרון בהנחיה).
- מציאת נקודות קיצון ומציאת תחום הגדרה: א) תחום ההגדרה הוא כל x≥0 כך ש-2 - sqrt(x) ≠ 0, כלומר sqrt(x) ≠ 2 ⇒ x ≠4. לכן תחום ההגדרה: [0,4) ∪ (4,∞). ב) נגדיר f=3x, g=2 - sqrt(x). נגזור ונשווה את הנגזרת לאפס: נגזרת f'=3 נגזרת g' = -1/(2 sqrt(x)) נגזרת הפונקציה היא: (3*(2 - sqrt(x)) - 3x*(-1/(2 sqrt(x)))) / (2 - sqrt(x))^2 פשטו את הנגזרת והשוו לאפס כדי למצוא x. בדקו אם הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה. בסיום נאמר אם קיימות נקודות קיצון או לא בהתאם לתחום. (ניתן להמציא פירוט נוסף לפי רמת הכיתה).