וידאו · נקודות קיצון
א3. מציאת קיצון על פונקציית מנה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציית מנה על ידי שימוש בכלל הנגזרת למנה וגישה שיטתית לפתרון. נדון בתנאי ההגדרה של הפונקציה, נגזרת פונקציית המנה, פתרון המשוואות וגישה לניהול תחום ההגדרה ולבקרת תוצאות באמצעות מחשבון.
- להבין את כלל הנגזרת למנה ולהחילו למציאת נקודות קיצון
- לזכור שיש לבדוק שמחנה הפונקציה שונה מאפס
- לרכוב נכון את הנגזרת לפי כלל הנגזרת למנה
- לפתור משוואה ריבועית שמקבלת מהנגזרת ולבחון את תחום ההגדרה
- לנתח ולהסיק האם הנקודה היא מקסימום או מינימום לפי סימני הנגזרת
- להכיר חשיבות ביצוע בקרה בתחומי תחולת הפונקציה ובחישוב הנגזרת
- מבוא לפונקציית מנה ונקודות קיצון: מבוא להגדרת פונקציית מנה והצגת התנאים המקדימים למציאת נקודות קיצון כחלק מתחום ההגדרה והמחנה.
- חישוב נגזרת פונקציית מנה: שימוש בכלל הנגזרת למנה (נגזרת מעלה פחות מכפלת פונקציה בגזירת הפונקציה השנייה חלקי מחנה בריבוע).
- פתרון המשוואה ובחינת תחום ההגדרה: הפיכת משוואת הנגזרת לאפס למשוואה ריבועית ופישוטה, בדיקה שהפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה, ורישום בתחום ההגדרה.
תרגול קצר
מציאת נקודות קיצון על פונקציית מנה פשוטה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (x - 1) / (x + 2). מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום ההגדרה שלה.
רמז: השתמש בכלל הנגזרת למנה, דרוש כי המחנה שונה מאפס, פתר את הנגזרת שווה לאפס ובדוק תחומי עלייה וירידה.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין נקודות קיצון. הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.
1. דאג לתחום ההגדרה: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2. 2. חשב את נגזרת הפונקציה לפי כלל נגזרת מנה: f'(x) = [(1)(x+2) - (x-1)(1)] / (x+2)^2 = (x + 2 - x + 1)/(x+2)^2 = 3/(x+2)^2. 3. פתח את המשוואה f'(x) = 0 ⇒ 3/(x+2)^2 = 0 אין פתרון. 4. לכן אין נקודות קיצון בשום תחום. 5. ניתוח סימני נגזרת מראה שהנגזרת תמיד חיובית (מכנה בריבוע חיובי), הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.
מציאת נקודות קיצון של פונקציית מנה ריבועית
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה h(x) = (-x) / (x^2 - 10x + 16). מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום ההגדרה.
רמז: התחום מוגדר כל עוד המחנה שונה מאפס. חשב את הנגזרת לפי כלל נגזרת מנה, סדר את המשוואה שנקבל ושווה לאפס, פתר את המשוואה הריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות קיצון ב x = -4, x = 4 בתחום ההגדרה (x ≠ 2,8).
1. תחום ההגדרה: x^2 - 10x + 16 ≠ 0. פרקטורציית המחנה: (x - 2)(x - 8) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2, 8. 2. חשב נגזרת פונקציית המנה: לפי כלל נגזרת מנה: f = -x, g = x^2 - 10x +16 f' = -1, g' = 2x - 10 \[ f' g - f g' \] / g^2 = \[ -1*(x^2 -10x +16) - (-x)*(2x -10) \] / (x^2 -10x +16)^2 3. חישוב המונה: -x^2 + 10x -16 + 2x^2 -10x = x^2 -16 4. שווה את המונה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון: x^2 -16 = 0 ⇒ x^2 =16 ⇒ x = ±4 5. בדיקה שהנקודות בתחום ההגדרה (x ≠ 2,8): 4 בDomain תקין, -4 גם תקין. 6. בדיקת סימני הנגזרת לסביבה של 4 ו- -4 לציון מקסימום/מינימום. 7. ממצאים: 4 ו- -4 הם נקודות קיצון, מסוג מינימום או מקסימום תלוי בסימן הנגזרת.
דרך הפתרון
מציאת נקודות קיצון על פונקציית מנה לדוגמה
פונקציה: f(x) = (-x) / (x² - 10x + 16)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות קיצון (מקסימום או מינימום) של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = (-x) / (x² - 10x + 16) - נתון 2
תחום ההגדרה: המחנה שונה מאפס
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת לפי כלל הנגזרת למנה, נשווה לאפס ונפתור את המשוואה, ולאחר מכן נבדוק תחום הגדרה
- נוסחה
x² - 16 = 0 ⇒ x = ±4
x^2 - 16 = 0 ⇒ x = 4 או x = -4 - משוואה
חשוב f = -x, f' = -1, g = x^2 - 10x + 16, g' = 2x - 10
חשוב f = -x, f' = -1, g = x^2 - 10x + 16, g' = 2x - 10
- פישוט
חשב (f'g - fg')
חשב (f'g - fg')
-1*(x^2 - 10x + 16) - (-x)*(2x-10) = x^2 -16 - תוצאה
מסיימים בתשובה
וודא ש-x ≠ 2, 8 ונתח את שינויי הסימן
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
פונקציה ותחום הגדרה
זיהוי נתונים
פונקציה ותחום הגדרה
מה עושים
נתונה פונקציית מנה עם f ו-g
למה
תחום ההגדרה חשוב כדי לוודא הפונקציה מוגדרת בכל נקודה
הפונקציה f(x) מוגדרת כאשר המחנה g(x) אינו אפס.
בדוק תחום הגדרה לפני החישובים
2בחירת שיטה
כלל נגזרת מנה
בחירת שיטה
כלל נגזרת מנה
מה עושים
להשתמש בכלל לגזור פונקציית מנה
למה
כדי לחשב את נגזרת פונקציית מנה נכונה
נגזרת של f/g היא (f' g - f g') חלקי g בריבוע.
נוסחה / הצבה
(נגזרת המונה כפול המחנה) פחות (המונה כפול נגזרת המחנה) חלקי המחנה בריבועזכור לסדר ולא לפספס סימנים
3בניית משוואה
הצבת f ו-g בנוסחה
בניית משוואה
הצבת f ו-g בנוסחה
מה עושים
חשוב f = -x, f' = -1, g = x^2 - 10x + 16, g' = 2x - 10
למה
להכין את הביטוי לחישוב הנגזרת
הכנסת הפונקציות לנוסחת נגזרת המנה
שמור על סדר ודיוק בסימנים
4פתרון
חישוב המונה של הנגזרת
פתרון
חישוב המונה של הנגזרת
מה עושים
חשב (f'g - fg')
למה
כדי לבדוק איפה הנגזרת שווה לאפס
חישוב המונה יוצא x² - 16
נוסחה / הצבה
-1*(x^2 - 10x + 16) - (-x)*(2x-10) = x^2 -16סדר וחבר מחדש את הביטוי
5פתרון
שווה את המונה לאפס ופתור
פתרון
שווה את המונה לאפס ופתור
מה עושים
x² - 16 = 0 ⇒ x = ±4
למה
איפה שהנגזרת שווה לאפס הן נקודות קיצון פוטנציאליות
פתור והימנע מפתרונות לא בתחום ההגדרה
נוסחה / הצבה
x^2 - 16 = 0 ⇒ x = 4 או x = -4בדוק שכל פתרון בתחום ההגדרה
6בדיקה
בדוק תחום הגדרה וסימני נגזרת
בדיקה
בדוק תחום הגדרה וסימני נגזרת
מה עושים
וודא ש-x ≠ 2, 8 ונתח את שינויי הסימן
למה
כדי לאשר נקודות קיצון ולזהות את סוגן
x=4 ו-x=-4 בתחום, וניתוח סימני נגזרת מסמן האם נקודה מקסימום או מינימום.
בצע תרגול בהצבת ערכים סמוכים וניתוח הסימנים
פתרונות כלליים
- מציאת נקודות קיצון על פונקציית מנה פשוטה: 1. דאג לתחום ההגדרה: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2. 2. חשב את נגזרת הפונקציה לפי כלל נגזרת מנה: f'(x) = [(1)(x+2) - (x-1)(1)] / (x+2)^2 = (x + 2 - x + 1)/(x+2)^2 = 3/(x+2)^2. 3. פתח את המשוואה f'(x) = 0 ⇒ 3/(x+2)^2 = 0 אין פתרון. 4. לכן אין נקודות קיצון בשום תחום. 5. ניתוח סימני נגזרת מראה שהנגזרת תמיד חיובית (מכנה בריבוע חיובי), הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.
- מציאת נקודות קיצון של פונקציית מנה ריבועית: 1. תחום ההגדרה: x^2 - 10x + 16 ≠ 0. פרקטורציית המחנה: (x - 2)(x - 8) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2, 8. 2. חשב נגזרת פונקציית המנה: לפי כלל נגזרת מנה: f = -x, g = x^2 - 10x +16 f' = -1, g' = 2x - 10 \[ f' g - f g' \] / g^2 = \[ -1*(x^2 -10x +16) - (-x)*(2x -10) \] / (x^2 -10x +16)^2 3. חישוב המונה: -x^2 + 10x -16 + 2x^2 -10x = x^2 -16 4. שווה את המונה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון: x^2 -16 = 0 ⇒ x^2 =16 ⇒ x = ±4 5. בדיקה שהנקודות בתחום ההגדרה (x ≠ 2,8): 4 בDomain תקין, -4 גם תקין. 6. בדיקת סימני הנגזרת לסביבה של 4 ו- -4 לציון מקסימום/מינימום. 7. ממצאים: 4 ו- -4 הם נקודות קיצון, מסוג מינימום או מקסימום תלוי בסימן הנגזרת.