MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · משוואות לוגריתמיות

א3. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בחוקים המרכזיים של הלוגריתמים, במיוחד חוקי כינוס הלוגים והמרת מקדמים, במטרה לפשט משוואות לוגריתמיות למשתנה אחד ולפתור אותן. בנוסף, מוסבר תהליך בדיקת התשובות והחשיבות של תחום ההגדרה והבקרה על הפתרונות.
  • להבין וליישם חוקי כינוס הלוגים בחיבור וחיסור
  • להמיר מקדמים ללוגריתמים כחלק מפישוט המשוואה
  • להפוך משוואות לוגריתמיות למטרה – לוג אחד בבסיס אחד עם תוכן אחד
  • לפתור משוואות רציונליות המושגות לאחר הפיכה ללוגריתם אחד
  • לבצע בקרה על פתרונות ולבדוק תחום הגדרה במתן תשובה נכונה
  • חוקי כינוס הלוגריתם: הסבר על חוקי החיבור והחיסור של לוגריתמים כאשר יש שני לוגים אותן בסיסים ומקדמים אחדים בלבד.
  • חוק המקדם (כפל לוגריתם במקדם): כאשר יש מקדם לפני הלוגריתם, משתמשים בחוק המקדם שמאפשר להעלות את התוכן של הלוגריתם בחזקה המתאימה ולהפוך את המקדם לאחד.
  • פתרון משוואות לוגריתמיות: אחרי שהמשוואה מנוסחת כלוגריתם אחד, עוברים לשלב ההסרה של הלוגריתם על ידי העברת לבסיס חיצוני ומקבלים משוואה אלגברית לפתירה.
  • חשיבות הבקרה ותחום ההגדרה: לאחר מציאת הפתרונות יש לבדוק האם התשובה תקפה בתחום ההגדרה של הלוגריתם, כלומר שהתוכן חיובי.

תרגול קצר

פתור משוואה לוגריתמית עם חיבור שני לוגים

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה: לוג בבסיס 3 של X בריבוע פלוס לוג בבסיס 3 של X ועוד 6 שווה ל-3

לוגריתמיםפתרון משוואהחוקי כינוס

רמז: השתמש בחוק החיבור לכינוס שני הלוגים ללוגריתם אחד ומצא את משוואת המטרה לפתרון.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3

נשתמש בחוק החיבור: לוג בסיס 3 של (X בריבוע כפול (X ועוד 6)) = 3 נבטל את הלוגריתם ע"י העלאה בחזקה 3: X בריבוע * (X + 6) = 3 בחזקת 3 = 27 הכפל פותח למשוואת ריבועית: X³ + 6X² = 27 נעביר הכל לאפס: X³ + 6X² - 27 = 0 נמצא שורשים: X=3 ו-X=-3 פחות מתאים בגלל תחום ההגדרה תשובה סופית: X = 3

פתור משוואה לוגריתמית עם חיסור ושימוש בחוק המקדם

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה: לוג בבסיס 3 של X בריבוע פחות לוג בבסיס 3 של X ועוד 24 שווה למינוס 1

לוגריתמיםחוק המקדםחיסורמשוואות ריבועיות

רמז: השתמש בחוק המקדם כדי להוריד מקדמים, אחר כך בצע כינוס באמצעות חוק החיסור.

פתרון מלא

תשובה סופית: תשובה תלויה בבדיקה תחום ההגדרה

נשתמש בחוק המקדם על לוג בבסיס 3 של X בריבוע: מקדם 2 הופך לחזקה 2 בתוכן. לסמן במדויק: לוג 3 של (X בריבוע) - לוג 3 של (X + 24) = -1 משמעות החיסור: לוג 3 של (X בריבוע / (X+24)) = -1 נבטל עם חזקת 3: X בריבוע / (X + 24) = 3^-1 = 1/3 נכפיל שני צדדים: 3X בריבוע = X + 24 נעביר הכול לאחד: 3X בריבוע - X - 24 = 0 נפתור משוואה ריבועית ונבדוק תחום הגדרה. לפי פתרון, ייתכן שתשובה אחת תתבטל בגלל תחום הגדרה. תשובה סופית: X שווה הפתרון התקף בלבד

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה לוגריתמית בחיבור לוגים

לוג בבסיס 3 של X בריבוע ועוד לוג בבסיס 3 של X ועוד 6 שווה ל-3

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך X שמקיים את המשוואה

  2. נתון 1

    לוג בבסיס 3 של X בריבוע

  3. נתון 2

    לוג בבסיס 3 של X ועוד 6

  4. נתון 3

    לוגריתם בשני אגפים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בחוק חיבור הלוגריתמים לכינוס הלוגים ללוגריתם אחד ובעזרת ביטול הלוגריתם לפתור משוואה

  6. נוסחה

    המשוואה הופכת להיות לוג 3 של מכפלת התכנים שווה 3.

    log3(X^2*(X+6)) = 3
  7. משוואה

    המשוואה היא סכום של שני הלוגריתמים שווים 3.

    המשוואה היא סכום של שני הלוגריתמים שווים 3.

  8. פישוט

    נבטל את הלוגריתם על ידי העלאה בבסיס 3 ואז נפתור את המשוואה האלגברית.

    נבטל את הלוגריתם על ידי העלאה בבסיס 3 ואז נפתור את המשוואה האלגברית.

    X^2 * (X + 6) = 27

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

יש שני לוגריתמים בבסיס 3

מה עושים

אנו מקבלים שני ביטויים לוגריתמיים בבסיס 3 עם ערכים שונים בתוך הלוגריתם.

למה

כדי שנוכל להחיל חוקים עליהם, הם חייבים להיות באותו בסיס.

לוג 3 של X בריבוע ולוג 3 של (X + 6)

2

זיהוי נתונים

סכום שני הלוגים שווה 3

מה עושים

המשוואה היא סכום של שני הלוגריתמים שווים 3.

למה

זה מאפשר לכתוב את המשוואה בצורת כינוס לוגריתמים.

לוג 3 של X בריבוע ועוד לוג 3 של (X + 6) שווה ל-3

3

בחירת שיטה

כנס את הלוגריתמים ללוגריתם אחד

מה עושים

לפי חוק החיבור: לוג a של M + לוג a של N שווה לוג a של M כפול N

למה

כדי לעבור ללוגריתם בודד ולפשט את הפתרון.

log3(X²) + log3(X + 6) = log3(X² · (X+6))

נוסחה / הצבה

log3(X^2) + log3(X+6) = log3(X^2 * (X+6))

יש לוודא שמקדמי הלוגריתם הם 1 לפני הכינוס.

4

בניית משוואה

המשוואה הופכת

מה עושים

המשוואה הופכת להיות לוג 3 של מכפלת התכנים שווה 3.

למה

עכשיו יש לנו לוגריתם אחד ונוכל לבטל אותו.

log3(X²*(X+6)) = 3

נוסחה / הצבה

log3(X^2*(X+6)) = 3
5

פתרון

האיזון והפישוט

מה עושים

נבטל את הלוגריתם על ידי העלאה בבסיס 3 ואז נפתור את המשוואה האלגברית.

למה

לפתור את המשוואה המקורית בביטוי אלגברי.

X²*(X+6) = 3^3

נוסחה / הצבה

X^2 * (X + 6) = 27

לפתור את המשוואה הריבועית בצעדים.

6

פתרון

פתור משוואה ריבועית

מה עושים

נפתח את הסוגריים ונסדר לאפס ונמצא את פתרונות המשוואה.

למה

חיפוש שורשים מתאימים

X^3 + 6X^2 - 27 = 0

נוסחה / הצבה

X^3 + 6X^2 - 27 = 0

בדוק פתרונות שלמים לפני פתרון כללי.

פתרונות כלליים

  • פתור משוואה לוגריתמית עם חיבור שני לוגים: נשתמש בחוק החיבור: לוג בסיס 3 של (X בריבוע כפול (X ועוד 6)) = 3 נבטל את הלוגריתם ע"י העלאה בחזקה 3: X בריבוע * (X + 6) = 3 בחזקת 3 = 27 הכפל פותח למשוואת ריבועית: X³ + 6X² = 27 נעביר הכל לאפס: X³ + 6X² - 27 = 0 נמצא שורשים: X=3 ו-X=-3 פחות מתאים בגלל תחום ההגדרה תשובה סופית: X = 3
  • פתור משוואה לוגריתמית עם חיסור ושימוש בחוק המקדם: נשתמש בחוק המקדם על לוג בבסיס 3 של X בריבוע: מקדם 2 הופך לחזקה 2 בתוכן. לסמן במדויק: לוג 3 של (X בריבוע) - לוג 3 של (X + 24) = -1 משמעות החיסור: לוג 3 של (X בריבוע / (X+24)) = -1 נבטל עם חזקת 3: X בריבוע / (X + 24) = 3^-1 = 1/3 נכפיל שני צדדים: 3X בריבוע = X + 24 נעביר הכול לאחד: 3X בריבוע - X - 24 = 0 נפתור משוואה ריבועית ונבדוק תחום הגדרה. לפי פתרון, ייתכן שתשובה אחת תתבטל בגלל תחום הגדרה. תשובה סופית: X שווה הפתרון התקף בלבד
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.