וידאו · משוואות לוגריתמיות
א1. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מסביר את ההגדרה של לוגריתם, בסיסים מיוחדים כמו e ו-10, והדגמת פתרון משוואות לוגריתמיות בשיטות שונות באמצעות חוקי החזקות והמחשבון.
- להבין ולהשתמש בהגדרת הלוגריתם
- להכיר בסיסים מיוחדים בלוגריתמים: בסיס e ובסיס 10
- ליישם חוקי חזקות להמרת משוואות לוגריתמיות למשוואות מעריכיות
- לפתור משוואות לוגריתמיות בעזרת מחשבון ופתרון אלגברי
- להעריך תוצאות ולבדוק את נכונותן באמצעות בדיקות חוזרות
- הגדרת הלוגריתם: הסבר שהלוגריתם הוא ההפוך מחזקה: אם a בחזקת x שווה b אז x הוא הלוגריתם של b בבסיס a.
- בסיסים מיוחדים בלוגריתם: הצגת הבסיסים 10 ו-e כמספרים מיוחדים והשימוש בהם בנוסחאות לוגריתמיות.
- פתרון משוואות לוגריתמיות: שימוש בחוקי החזקות כדי לפתור משוואות לוגריתמיות, החל מהצבת הבעיה ועד לשימוש במחשבון או בשוויון מעריכים.
תרגול קצר
פתירת משוואה לוגריתמית בסיסית
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה 3 בחזקת x = 7.
רמז: השתמש בהגדרת הלוגריתם והפעל משתנה x = log בסיס 3 של 7.
פתרון מלא
תשובה סופית: x ≈ 1.771
נכתוב את x = log_3 7. בעזרת מחשבון מחשבים את הלוגריתם ומקבלים x ≈ 1.771.
פתרון משוואה עם בסיס e
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה e בחזקת x = 1 חלקי e בריבוע.
רמז: נמיר את הצד הימני לחזקה של e ואז נשווה מעריכים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = -2
1 חלקי e בריבוע = e במינוס 2 ולכן e^x = e^{-2} implies x = -2.
פתרון משוואה לוגריתמית עם בסיס 10
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה 10 בחזקת x = 0.001.
רמז: המירו את 0.001 כחזקה של 10 ואז השוו מעריכים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = -3
0.001 = 1 חלקי 1000 = 10 בחזקת -3. לכן 10^x= 10^{-3} implies x=-3.
פתרון משוואה לוגריתמית עם בסיס שבר
רמת קושי: בגרות
חשב את x במשוואה log בסיס 5 של 7 = x.
רמז: כתבו את המשוואה כ-5 בחזקת x שווה 7 ואז חשבו את x.
פתרון מלא
תשובה סופית: x ≈ 1.208
x = log_5 7. באמצעות מחשבון ממשיכים ומקבלים x ≈ 1.208.
דרך הפתרון
פתרון משוואה לוגריתמית בסיסית
משוואה 3 בחזקת x = 7
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מצא את הערך של x
- נתון 1
בסיס: 3
- נתון 2
ערך המעריך: x
- נתון 3
תוצאה: 7
- רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בהגדרת הלוגריתם לכתיבת x כלוגריתם של 7 בבסיס 3 ולאחר מכן חשב באמצעות מחשבון.
- נוסחה
המשוואה לכתיבת x
x = log_3 7x = _37 - משוואה
יש לנו 3 בחזקת x שווה 7
יש לנו 3 בחזקת x שווה 7
- פישוט
חשב את log_3 7 באמצעות מחשבון או שינוי בסיס
חשב את log_3 7 באמצעות מחשבון או שינוי בסיס
x ≈ 1.771
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
יש לנו 3 בחזקת x שווה 7
למה
נדרש למצוא את x שמקיים שוויון זה
זכרו שפונקציית החזקה עם בסיס 3 מוכרת
2בחירת שיטה
הגדרת הלוגריתם
בחירת שיטה
הגדרת הלוגריתם
מה עושים
נכתוב x כלוגריתם של 7 בבסיס 3
למה
לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה להעלאת חזקה
נוסחה / הצבה
x = log_3 7השתמשו בהגדרה: אם a^x = b אז x = log_a b
3בניית משוואה
כתיבת המשוואה הלוגריתמית
בניית משוואה
כתיבת המשוואה הלוגריתמית
מה עושים
המשוואה לכתיבת x
למה
המשוואה הזו מאפשרת חישוב של x
נוסחה / הצבה
x = log_3 7x = _37יש מחשבונים שיכולים לחשב לוגריתמים בבסיס כלשהו
4פתרון
חישוב באמצעות מחשבון
פתרון
חישוב באמצעות מחשבון
מה עושים
חשב את log_3 7 באמצעות מחשבון או שינוי בסיס
למה
כדי לקבל ערך מספרי ל-x
נוסחה / הצבה
x ≈ 1.771אפשר להשתמש בלוגריתם טבעי: log_3 7 = ln 7 / ln 3
5בדיקה
בדיקת נכונות התשובה
בדיקה
בדיקת נכונות התשובה
מה עושים
ננסה להציב את x בחזקה ולראות אם התוצאה 7
למה
להבטיח שהתשובה נכונה
נוסחה / הצבה
3^(1.771) ≈ 7שימוש במקש חזקה ובתוצאה במחשבון
6תשובה
תשובה סופית
תשובה
תשובה סופית
מה עושים
x הוא בקירוב 1.771
למה
זה הערך המקיים את המשוואה
נוסחה / הצבה
x ≈ 1.771השאירו לפחות שלוש ספרות אחרי הנקודה
פתרונות כלליים
- פתירת משוואה לוגריתמית בסיסית: נכתוב את x = log_3 7. בעזרת מחשבון מחשבים את הלוגריתם ומקבלים x ≈ 1.771.
- פתרון משוואה עם בסיס e: 1 חלקי e בריבוע = e במינוס 2 ולכן e^x = e^{-2} implies x = -2.
- פתרון משוואה לוגריתמית עם בסיס 10: 0.001 = 1 חלקי 1000 = 10 בחזקת -3. לכן 10^x= 10^{-3} implies x=-3.
- פתרון משוואה לוגריתמית עם בסיס שבר: x = log_5 7. באמצעות מחשבון ממשיכים ומקבלים x ≈ 1.208.