וידאו · תרגילים מסוגים שונים
חקירת לן סעיף ג 220920 - 2
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בחינת פונקציה חדשה g המוגדרת כשבר בין נגזרת פונקציה f לפונקציה עצמה, איתור סימפטוטות אופקיות ואנכיות, ובדיקה גרפית של התנהגות הפונקציה והשוואה בין גרפים מוצעים.
- להבין כיצד לבחון פונקציה המוגדרת כשבר בין נגזרת פונקציה לפונקציה עצמה
- למצוא תנאים להגדרת תחום הפונקציה ולמצוא סימפטוטות אופקיות ואנכיות
- לבחון את סימני הפונקציה והנגזרת בתחומים שונים
- להשוות בין גרפים מוצעים ולזהות את הגרף המתאים לפונקציה
- לשפר מיומנויות בניתוח פונקציות מורכבות ובשימוש בשפה מתמטית נכונה
- הגדרת פונקציות וניתוח תחום: הפעלת פונקציה g המוגדרת כשבר בין נגזרת פונקציה f לפונקציה עצמה, בדיקה איפה הפונקציה g מוגדרת והגבלת תחום בהתאם לאפסים במונה ובמכנה.
- זיהוי סימפטוטות אופקיות ואנכיות: מציאת ערכי x שבהם יש סימפטוטות – נקודות בהן הפונקציה מתקרבת לאינסוף, וכן בדיקה האם יש נקודות חור בפונקציה.
- ניתוח סימני הפונקציה והנגזרת: סקירה וניתוח הערכים של f' ו-f בתחומים שונים כדי לזהות מקומות בהם הפונקציה חיובית או שלילית ולנתח את תכונות הפונקציה g.
- השוואת גרפים ובחירת הגרף המתאים: לאחר ניתוח הפונקציה g והסימנים, בוחנים בין שלושה גרפים מוצעים את הגרף המתאים שמייצג את g על פי התכונות שזוהו.
תרגול קצר
מציאת תחום ההגדרה של g(x)
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה g(x) = f'(x) / f(x), כאשר f היא פונקציה רציפה. דרשו להגדיר את התחום שבו g מוגדרת.
רמז: פונקציה עם מנה מוגדרת כאשר המונה והמכנה קיימים, והמכנה שונה מאפס
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הינו מערך ה-x עבורו f(x) שונה מאפס.
יש לדרוש ש-f(x) שונה מאפס. גם לפונקציה f' ולהגדרת תחום צריכה להיות התייחסות, בהתאם לנתונים.
זיהוי סימפטוטות אופקיות ואנכיות
רמת קושי: בינוני
בחן את הפונקציה g(x) והצב את ערכי x שבהם יש אסימפטוטות אופקיות או אנכיות.
רמז: בדוק איפה הפונקציה לא מוגדרת וראה לאיזה ערך היא מתקרבת בנקודות אלו.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטות אופקיות או אנכיות ב-0, 1 חלקי e, e, ו-e בריבוע.
בהינתן התנאים שהוזכרו, האסימפטוטות נמצאות ב-x=0, x=1/e, x=e, ו-x=e^2.
ניתוח סימנים לפונקציה g(x) וגרפים
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה g(x) = f'(x)/f(x) כאשר f' חיובית, ו-f משתנה בין חיובי ולשלילי בתחומים שונים. איזה מן הגרפים המוצעים יתאר נכון את g(x)?
רמז: בחן את סימני הפונקציה g על פי סימני המונה והמכנה.
פתרון מלא
תשובה סופית: הגרף השלישי מתאר את פונקציית g בצורה נכונה.
f' חיובית בכל התחום, f משנה סימנים, לכן g יהיה פלוס, מינוס, פלוס, מינוס. הגרף השלישי מתאים לתיאור זה.
בחירת גרף לפונקציית g(x)
רמת קושי: בגרות
על סמך ניתוח הפונקציה g(x), בחר את הגרף המתאים מ-3 אופציות הניתנות.
רמז: נתבונן בסימני הפונקציה g ונזהה את תחומי השינוי.
פתרון מלא
תשובה סופית: הגרף השלישי הוא המתאים.
הגרף השלישי מתאים בהתחשב בשינויים בסימני הפונקציה על פי ניתוח f ו-f'.
דרך הפתרון
פתרון שאלת חקירת פונקציית g
שאלת סימפטוטות והתנהגות פונקציה g כפונקציה של f ו-f'
מפת פתרון
- מטרה
למצוא סימפטוטות אופקיות ואנכיות של g / התנהגות g בין נקודות קריטיות / גרף המתאר נכון את g
- נתון 1
נתון 1
g(x) = f'(x) חלקי f(x) - נתון 2
f' חיובית בכל התחום
- נתון 3
f משתנה בין סימני פלוס למינוס בתחומים שונים
- רעיון
הרעיון המרכזי
להגדיר תחום ההגדרה של g, לזהות נקודות אסימפטוטה ולנתח את הסימנים של הפונקציה לפי סימני f' ו-f,
- נוסחה
נתונה פונקציה g(x) = f'(x) / f(x) עם פונקציות f ו-f'
g(x) = f'(x)f(x)g(x) = f'(x) / f(x)g(x) = (f'(x))/(f(x)) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
פונקציית f' חיובית בכל התחום, f משתנה בין חיובית לשלילית
פונקציית f' חיובית בכל התחום, f משתנה בין חיובית לשלילית
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה g
זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה g
מה עושים
נתונה פונקציה g(x) = f'(x) / f(x) עם פונקציות f ו-f'
למה
מדובר בפונקציה מורכבת המבוססת על נגזרת והפונקציה עצמה
מבינים את ההגדרה ומתחילים לזכור דרישות תחום
נוסחה / הצבה
g(x) = f'(x)f(x)g(x) = f'(x) / f(x)g(x) = (f'(x))/(f(x))לא להתחיל להציב מייד את הפירושים המורכבים
2זיהוי נתונים
זיהוי דרישות תחום
זיהוי נתונים
זיהוי דרישות תחום
מה עושים
דרוש ש-f(x) שונה מאפס וגם המונה והמכנה קיימים
למה
כדי שהפונקציה g תהיה מוגדרת
מחפשים איפה הפונקציה לא מוגדרת בגלל מכנים ששווים אפס
לבדוק גם תנאים ל-ln
3בחירת שיטה
זיהוי נקודות אסימפטוטה
בחירת שיטה
זיהוי נקודות אסימפטוטה
מה עושים
בודקים איפה f(x) מתקרב לאפס או ל-0, למשל ב-0, 1/e, e, e^2
למה
סימפטוטות מופיעות כאשר פונקציה מתקרבת לאינסוף או לא מוגדרת
אפילו דרישה ש-x>0 בגלל הלוגריתם
שים לב לתנאי x > 0 בגלל ln(x)
4פתרון
ניתוח סימני הפונקציות
פתרון
ניתוח סימני הפונקציות
מה עושים
פונקציית f' חיובית בכל התחום, f משתנה בין חיובית לשלילית
למה
צריך להכיר את התפלגות הסימנים של g
כשהמונה חיובית והמכנה משתנה סימן, g ישנה את סימנו
רשום טבלה של סימני f' ו-f בכל תחום
5פתרון
שחזור גרף פונקציית g לפי סימנים
פתרון
שחזור גרף פונקציית g לפי סימנים
מה עושים
בחירת הגרף התואם את רצף הסימנים פלוס, מינוס, פלוס, מינוס
למה
כדי לזהות את הגרף המתאים מתוך אפשרויות
הגרף השלישי מתאים
יש להשוות תדיר גראפים ולבדוק סימנים
6בדיקה
בדיקת חישוב ערכים קריטיים
בדיקה
בדיקת חישוב ערכים קריטיים
מה עושים
ביצוע בדיקה בערכי x שנבחרו כמו 0.0001, 1/e ועוד
למה
לרענן את הוודאות שהגדרנו את התחום וההתנהגות נכון
שימוש במחשבון או הערכות ידניות
בדיקת ערכים קריטיים בתוך תחום ההגדרה
פתרונות כלליים
- מציאת תחום ההגדרה של g(x): יש לדרוש ש-f(x) שונה מאפס. גם לפונקציה f' ולהגדרת תחום צריכה להיות התייחסות, בהתאם לנתונים.
- זיהוי סימפטוטות אופקיות ואנכיות: בהינתן התנאים שהוזכרו, האסימפטוטות נמצאות ב-x=0, x=1/e, x=e, ו-x=e^2.
- ניתוח סימנים לפונקציה g(x) וגרפים: f' חיובית בכל התחום, f משנה סימנים, לכן g יהיה פלוס, מינוס, פלוס, מינוס. הגרף השלישי מתאים לתיאור זה.
- בחירת גרף לפונקציית g(x): הגרף השלישי מתאים בהתחשב בשינויים בסימני הפונקציה על פי ניתוח f ו-f'.