וידאו · תרגילים מסוגים שונים
חקירת לן סעיף א+ב 220920 - 1
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- במסגרת שיעור זה חקרנו פונקציה מסוג lan חלקי פונקציה ריבועית של lan x, נמצאנו פתרון לפרמטרים a ו-b באמצעות נקודת מעבר ונקודת משיק, ביצענו חקירת תחום הגדרה כולל מציאת נקודות חור ואסימפטוטות אנכיות ואופקיות, ובחנו את סימטריית הפונקציה ותכונת העלייה שלה דרך ניתוח הנגזרת.
- לזהות פונקציה עם פרמטרים ולנסח משוואות המגדירות אותם
- לבצע חישובי נגזרת רציונלית הכוללת לוגריתמים טבעיים
- לחפש נקודות חור ותחום הגדרה של פונקציה רציונלית עם תנאים על הלוגריתם
- לחקור אסימפטוטות אנכיות ואופקיות של פונקציה
- להבין ולנתח סימטריות ותחומים שבהם הפונקציה עולה או יורדת
- להשתמש בנתוני משיק ומעבר כדי לקבוע פרמטרים בצורה אלגברית
- הגדרת התרגיל ופרמטרים: ההגדרה של הפונקציה היא y = (a - ln x) / (ln x)^2 - ln x + b כאשר a ו-b הם פרמטרים חיוביים וידועים.
- בניית משוואות לפרמטרים: מהנתונים של נקודת מעבר ונקודת משיק בנקודה x = e^(1/3) התקבלו שתי משוואות יחידות עם a ו-b שעזרו למצוא קשר ביניהם ולפתור את ערכי הפרמטרים.
- דיפרנציאל הנגזרת והטרנספורמציה: בוצעה נגזרת של הפונקציה תוך טיפול במונה ומכנה נפרדים, נבנתה משוואה חדשה לשיפוע המשיק ובוצעה הצבה חוזרת לבדיקת תקפות החישוב.
תרגול קצר
הצבת נקודת מעבר ומציאת משוואות לפרמטרים
רמת קושי: קל
פונקציה נתונה f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b ), כאשר a,b פרמטרים חיוביים. ידוע שהפונקציה עוברת בנקודה (e^(1/3), -1/2) ושהמשיק בפונקציה בנקודה זו מאונך ישר y=-8/3 e^(1/3) x. מצא משוואות לקביעת a ו-b.
רמז: - להציב x=e^(1/3) בפונקציה ולקבל משוואה ראשונה - לחשב נגזרת f'(x) ולהכין משוואה שנייה לפי שיפוע המשיק
פתרון מלא
תשובה סופית: מערכת המשוואות שמייצגת את הפרמטרים a ו-b היא: (a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b ) = -1/2 ופונקציית השיפוע: f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3))
1. הצבת x=e^(1/3) בפונקציה: ln(e^(1/3))=1/3 אז הפונקציה שווה ל: (a - 1/3) / ( (1/3)^2 - 1/3 + b ) = -1/2 2. שיפוע הישר הוא -8/3 e^(1/3) => שיפוע המשיק הוא הופכי ונגדי = 3/(8 e^(1/3)) 3. לחשב נגזרת f'(x) ולהציב x=e^(1/3) את הערך לשיפוע המשיק 4. לקבל משוואה נוספת ולפתור מערכת של שתי המשוואות למציאת a ו-b
בחינת תחום ההגדרה וגבולות אסימפטוטיות
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b ), אותה חקרת קודם. מצא את תחום ההגדרה שלה ואת אסימפטוטותיה (אנכיות ואופקיות).
רמז: - תחום ההגדרה מחייב x>0 וגם שהמכנה לא יהיה אפס - פתר את המשוואה של מכנה האפס כדי למצוא נקודות אי-הגדרה - בדוק את הגבולות של הפונקציה כש-x שואף לאותן נקודות וללאינסוף
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x>0, x ≠ 1/e, x ≠ e^2 אסימפטוטות אנכיות: x=1/e ו-x=e^2 אסימפטוטה אופקית: y=0
1. תנאי x>0 מ-ln(x) כי הלוגריתם מוגדר רק כך 2. תנאי כי המכנה (ln x)^2 - ln x + b ≠ 0 פתרון המשוואה y^2 - y + b=0 בדאל לשורשים 3. נקודות חור ב-x = e^{-1} (שהוא 1/e) ו-x = e^{2} 4. חישוב גבולות בצדדים השונים של נקודות אלו וקביעת אסימפטוטות אנכיות באותן נקודות 5. לבדוק גבול x→∞ ולראות שהפונקציה מתקרבת ל-0 כך אסימפטוטה אופקית היא y=0
הוכחת פונקציה בעלת נגזרת חיובית בכל התחום
רמת קושי: מאתגר
הוכח ש-f'(x) > 0 לכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=(a - ln x)/( (ln x)^2 - ln x + b ).
רמז: - נחשב את הנגזרת ל-f'(x) תוך שימוש בכלל המנה - נכתוב את הנגזרת בצורה מפושטת כמה שניתן - ננתח את סימן האיברים וחזקת המכנה בתחום ההגדרה
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) > 0 עבור כל x בתחום ההגדרה, כלומר הפונקציה עולה בכל התחום
נגזרת: f'(x)=(1/x) * [ טור של ביטוי עם ln(x) בפרמטרים מוגדרים ] / ( (ln x)^2 - ln x + b )^2 המכנה בריבוע תמיד חיובי במחנה, ונגזרות הלוגריתמים מובילים לכך שהמונה בתוך הסוגריים הוא חיובי לכל x>0 לכן f'(x) תמיד חיובי בתחום ההגדרה
פתרון משוואות לפרמטרים והסקת תחום הגדרה
רמת קושי: בגרות
פונקציה נתונה עם שני פרמטרים ותנאי מעבר ומשיק כפי שתוארו, מצא את a ו-b וחקור את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: 1. להציב את נקודת המעבר בפונקציה ולקבל משוואה ל-a,b 2. לחשב נגזרת ולהציב את שיפוע המשיק 3. לפתור את מערכת המשוואות 4. לבדוק איפה המכנה מתאפס ולמצוא תחום הגדרה 5. קבע את האסימפטוטות לפי הגבולות
פתרון מלא
תשובה סופית: a=3, b=-6 תחום הגדרה: x>0, x≠1/e, x≠e^2 אסימפטוטות אנכיות: x=1/e, x=e^2 אסימפטוטה אופקית: y=0
(כל השלבים שהוצגו בשיעור יושלמו ויסוכמו בסוגר)
דרך הפתרון
חקר פונקציה עם נקודת מעבר ומשיק
מציאת פרמטרים, תחום הגדרה ואסימפטוטות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא פרמטרים a ו-b / תחום ההגדרה של הפונקציה / אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
- נתון 1
נתון 1
f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b ) - נתון 2
נתון 2
f(e^(1/3)) = -1/2 - נתון 3
נתון 3
המשיק לנקודה ב-x = e^(1/3) מאונך לישר y = -8/3 e^(1/3) x - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בהצבת נקודת המעבר, לחשב ולשוות נגזרת לשיפוע המשיק, לפתור משוואות לפרמטרים, לחקור איפה
- נוסחה
נשתמש בהצבה ובנגזרת ונרכיב משוואות עבור a,b
(a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b) = -1/2f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3)) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים
נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים
b = - 2 aפתרון ריבועי שמשווה ערך של a ל-3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה
זיהוי נתונים
הגדרת הפונקציה
מה עושים
נגדיר את הפונקציה עם הפרמטרים
למה
לזהות את המבנה להמשך העבודה
f(x) = (a - ln x) / ( (ln x)^2 - ln x + b )
2זיהוי נתונים
נקודת מעבר ומשיק
זיהוי נתונים
נקודת מעבר ומשיק
מה עושים
ידוע כי f(e^{1/3}) = -1/2 והשיפוע במשיק הוא ההופכי והנגדי של -8/3 e^{1/3}
למה
כל התנאים נחוצים לפתרון הפרמטרים
f(e^{1/3}) = -1/2; שיפוע משיק = 3/(8 e^{1/3})
3בניית משוואה
כתיבת משוואות לפרמטרים
בניית משוואה
כתיבת משוואות לפרמטרים
מה עושים
נשתמש בהצבה ובנגזרת ונרכיב משוואות עבור a,b
למה
כדי למצוא ביטוי ל-a ו-b
(a - ln(e^{1/3})) / ((ln(e^{1/3}))^2 - ln(e^{1/3}) + b) = -1/2 f'(e^{1/3}) = 3/(8 e^{1/3})
נוסחה / הצבה
(a - 1/3) / (1/9 - 1/3 + b) = -1/2f'(e^(1/3)) = 3/(8 e^(1/3))השתמשו בלוגריתם של חזקות
4פתרון
פתרון מערכת המשוואות
פתרון
פתרון מערכת המשוואות
מה עושים
נרכיב ונפשט את המשוואות כדי למצוא b כפונקציה של a, ואז נחשב בערכים
למה
מזהים את הערכים המדויקים לפרמטרים
הקשר הראשון: b = -2 a הקשר שני: משוואת ריבועית a → הפתרונות הם a=3 או אחר
נוסחה / הצבה
b = - 2 aפתרון ריבועי שמשווה ערך של a ל-3יש לשים לב להכפלה בצדדים ולפישוט נכון
5זיהוי נתונים
תחום ההגדרה
זיהוי נתונים
תחום ההגדרה
מה עושים
לזהות איפה הפונקציה אינה מוגדרת ולמצוא איסורים על x
למה
השפעת המכנה ולוגריתם על תחום ההגדרה
x > 0 ln(x) ≠ 2; ln(x) ≠ -1 → x ≠ e^{2}, x ≠ 1/e
זכרו שתחום הלוגריתם מונע ערכים שליליים או אפס
6בחירת שיטה
בדיקת גבולות לאסימפטוטות
בחירת שיטה
בדיקת גבולות לאסימפטוטות
מה עושים
חשב את הגבולות של הפונקציה בנקודות הבעיתיות ובאינסוף
למה
לקבוע אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
גבול x→0+ → y→0 (נקודת חור) גבול x→(1/e)^- ו- (1/e)^+ → שואפים לאינסוף עם סימנים שונים גבול x→∞ → y→0^- (אסימפטוטה אופקית)
פתרונות כלליים
- הצבת נקודת מעבר ומציאת משוואות לפרמטרים: 1. הצבת x=e^(1/3) בפונקציה: ln(e^(1/3))=1/3 אז הפונקציה שווה ל: (a - 1/3) / ( (1/3)^2 - 1/3 + b ) = -1/2 2. שיפוע הישר הוא -8/3 e^(1/3) => שיפוע המשיק הוא הופכי ונגדי = 3/(8 e^(1/3)) 3. לחשב נגזרת f'(x) ולהציב x=e^(1/3) את הערך לשיפוע המשיק 4. לקבל משוואה נוספת ולפתור מערכת של שתי המשוואות למציאת a ו-b
- בחינת תחום ההגדרה וגבולות אסימפטוטיות: 1. תנאי x>0 מ-ln(x) כי הלוגריתם מוגדר רק כך 2. תנאי כי המכנה (ln x)^2 - ln x + b ≠ 0 פתרון המשוואה y^2 - y + b=0 בדאל לשורשים 3. נקודות חור ב-x = e^{-1} (שהוא 1/e) ו-x = e^{2} 4. חישוב גבולות בצדדים השונים של נקודות אלו וקביעת אסימפטוטות אנכיות באותן נקודות 5. לבדוק גבול x→∞ ולראות שהפונקציה מתקרבת ל-0 כך אסימפטוטה אופקית היא y=0
- הוכחת פונקציה בעלת נגזרת חיובית בכל התחום: נגזרת: f'(x)=(1/x) * [ טור של ביטוי עם ln(x) בפרמטרים מוגדרים ] / ( (ln x)^2 - ln x + b )^2 המכנה בריבוע תמיד חיובי במחנה, ונגזרות הלוגריתמים מובילים לכך שהמונה בתוך הסוגריים הוא חיובי לכל x>0 לכן f'(x) תמיד חיובי בתחום ההגדרה
- פתרון משוואות לפרמטרים והסקת תחום הגדרה: (כל השלבים שהוצגו בשיעור יושלמו ויסוכמו בסוגר)