וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
חשב את סינוס בריבוע של זווית
רמת קושי: קל
בעזרת מחשבון, חשב את ערך סינוס בריבוע של הזווית 30 וודא שהחיבור עם קוסינוס בריבוע יתן 1.
רמז: קבע במחשבון את sin של הזווית ואז העלה בריבוע. לאחר מכן חשב cos באותה הזווית והעלה בריבוע. לבסוף חשב את הסכום.
תשובה סופית: 1
sin 30 מעלות = 0.5 sin^2 30 = 0.25 cos 30 מעלות = שורש 3 חלקי 2 ≈ 0.866 cos^2 30 ≈ 0.75 סכום = 0.25 + 0.75 = 1 התוצאה מאשרת את הזהות.
הוכח שקיים זהות עבור טנגנס
רמת קושי: בינוני
הוכח עבור זווית α שהטנגנס מוגדר כסינוס חלקי קוסינוס וחשב בעזרת מחשבון את tan 30.
רמז: חשב sin 30 ו- cos 30 בנפרד, אחר כך חלק sin ב- cos וודא שהתוצאה מתאימה למחשבון.
תשובה סופית: כיוון שהטנגנס הוא מתאים כיחס sin ל-cos: 0.577
sin 30 = 0.5, cos 30 ≈ 0.866 חילוק: 0.5 / 0.866 ≈ 0.577 בדיקת מחשבון tan 30 ≈ 0.577 התוצאה תואמת, לכן tan(α) = sin(α) / cos(α).
הוכחת זהות בסיסית בטריגונומטריה
נשתמש במשפט פיתגורס ובהגדרות בסיסיות כדי להציג את הביטוי כפישוט לערך קבוע.
sin α = a חלקי ccos α = b חלקי csin(α) = a/ccos(α) = b/c() = (a)/(c), () = (b)/(c)אחד את השברים עם המכנה c^2.
a בריבוע ועוד b בריבוע חלקי c בריבוע(a^2 + b^2)/c^2(a^2 + b^2)/(c^2)נחליף a^2 + b^2 ב-c^2 לפי משפט פיתגורס.
c בריבוע חלקי c בריבוע = 1c^2 / c^2 = 1לכן sin^2(α) + cos^2(α) שווה לאחד.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
יש משולש ישר זווית עם צלעות a, b, c ומדידה בזווית α.
למה
הגדרת סינוס וקוסינוס מתבססת על משולש ישר זווית.
sin(α) = a/c, cos(α) = b/c
נוסחה / הצבה
sin α = a חלקי ccos α = b חלקי csin(α) = a/ccos(α) = b/c() = (a)/(c), () = (b)/(c)יש לזכור מה משמעות סינוס וקוסינוס בגאומטריה.
בחירת שיטה
מה עושים
נעלה כל טריגונומטרי בריבוע ונוסיף אותם יחד.
למה
כדי לבדוק האם סכום הריבועים שווה לאחד.
sin^2(α) + cos^2(α) = (a/c)^2 + (b/c)^2
נוסחה / הצבה
a בריבוע חלקי c בריבוע ועוד b בריבוע חלקי c בריבוע(a/c)^2 + (b/c)^2((a)/(c))^2 + ((b)/(c))^2יש להקפיד על העלאת כל איבר בריבוע.
בניית משוואה
מה עושים
אחד את השברים עם המכנה c^2.
למה
יש לאחד את הביטוי כדי לפשט.
(a^2 + b^2)/c^2
נוסחה / הצבה
a בריבוע ועוד b בריבוע חלקי c בריבוע(a^2 + b^2)/c^2(a^2 + b^2)/(c^2)שימוש במכנה משותף הוא חשוב לפישוט.
פתרון
מה עושים
נחליף a^2 + b^2 ב-c^2 לפי משפט פיתגורס.
למה
משפט פיתגורס קובע שהצלעות במשולש ישר זווית מקיימות יחס זה.
(c^2)/c^2 = 1
נוסחה / הצבה
c בריבוע חלקי c בריבוע = 1c^2 / c^2 = 1(c^2)/(c^2) = 1חיבור הצלעות במשולש ישר זווית מוכר מהגיאומטריה.
תשובה
מה עושים
לכן sin^2(α) + cos^2(α) שווה לאחד.
למה
קיבלנו תוצאה קבועה חשובה בטריגונומטריה.
זהות זו משמשת כבסיס להוכחות נוספות ולפישוט ביטויים.
זוהי Identity בסיסית בטריגונומטריה שחייבים לזכור.