וידאו · משיק לפונקציה
ב3. משיק לפונקציה דרך נקודה שאינה על הפונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא מציאת משיק לפונקציה באמצעות נקודה שאינה שייכת לפונקציה, תוך השוואת שיפוע באמצעות נגזרת ושיפוע בין שתי נקודות.
- להבין כיצד לחשב שיפוע משיק לפונקציה דרך נקודה חיצונית
- לחשב נגזרת של פונקציה מורכבת
- להשוות בין שיטות לקבלת שיפוע משיק
- לנסח משוואת משיק באמצעות נקודה ושיפוע
- הגדרת נקודה ומשוואת הפונקציה: הצגת נקודה טי שאינה שייכת לפונקציה וכתיבת הפונקציה הדיפרנציאלית לחישוב השיפוע באמצעות נגזרת.
- חישוב שיפוע משיק בשיטות שונות: השוואת השיפוע שחושב באמצעות נגזרת לשיפוע שמתקבל מחישוב השיפוע בין שתי נקודות על הפונקציה.
תרגול קצר
מציאת משוואת משיק דרך נקודה חיצונית
רמת קושי: קל
יש פונקציה נתונה ופונקציה עוקבת x, y על ציר. נתונה נקודה שאינה שייכת לפונקציה. מצא את משוואת המשיק לפונקציה שעוברת דרך נקודה זו.
רמז: חשב את השיפוע דרך נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה וחשוב גם את השיפוע בין הנקודה החיצונית לבין נקודת ההשקה.
פתרון מלא
תשובה סופית: y - y1 = m (x - x1) כאשר m מחושב כנראה בשלב הביניים ו(x1,y1) היא נקודת ההשקה על הפונקציה.
ראשית נחשב את השיפוע בנקודת ההשקה t באמצעות נגזרת הפונקציה. לאחר מכן נחשב שיפוע בין הנקודה החיצונית לנקודת ההשקה. את שני השיפועים נשווה ונמצא את t. לבסוף נציב את השיפוע ואת נקודת ההשקה במשוואת ישר.
דרך הפתרון
מפת פתרון: מציאת משיק לפונקציה דרך נקודה שאינה על הפונקציה
שלבים ברורים לפתרון משוואת משיק באמצעות הנגזרת ושיפוע בין שתי נקודות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המשיק לפונקציה שעוברת דרך P
- נתון 1
פונקציה f(x) מוגדרת
- נתון 2
נקודה P שנמצאת מחוץ לגרף הפונקציה
- נתון 3
משתנה פרמטר t לנקודת ההשקה
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את שיפוע המשיק בשתי דרכים - דרך נגזרת ונקודות, ונמצא את נקודת ההשקה המתאימה.
- נוסחה
נחשב נגזרת פונקציה ונציב בנקודת t את ערך השיפוע.
m = נגזרת(f) בנקודה tm = f'(t) - משוואה
נחשב גם שיפוע בין הנקודה החיצונית לנקודת ההשקה ונסדר משוואה עם שיפוע
נחשב גם שיפוע בין הנקודה החיצונית לנקודת ההשקה ונסדר משוואה עם שיפוע הנגזרת.
m = (y(t) פחות y_p) חלקי (x(t) פחות x_p)m = (y(t) - y_p) / (x(t) - x_p)m = (y(t) - y_p)/(x(t) - x_p) - פישוט
פותרים את המשוואה ונקבל את ערך t המתאים.
פותרים את המשוואה ונקבל את ערך t המתאים.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נקודות פונקציה ופונקציה
זיהוי נתונים
הגדרת נקודות פונקציה ופונקציה
מה עושים
יש פונקציה ונקודה חיצונית שאינה שייכת לגרף הפונקציה.
למה
צריך לבסס את תנאי המשימה ולזכור שהנקודה לא על הפונקציה.
הנקודה מחוץ לגרף הפונקציה; נשאף למצוא משוואת ישר שעובר דרך נקודה זו ומגע בפונקציה בנקודה כלשהי.
2בחירת שיטה
חישוב שיפוע משיק בשתי דרכים
בחירת שיטה
חישוב שיפוע משיק בשתי דרכים
מה עושים
נקבע שיפוע משיק על ידי נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה והשוואתה לשיפוע בין שתי נקודות.
למה
השוואת השיפועים תאפשר למצוא את נקודת ההשקה הרצויה להנחת המשיק.
בדיקת השיפוע באמצעות נגזרת לעומת שיפוע בין נקודה חיצונית ונקודת ההשקה על הפונקציה.
3בניית משוואה
נוסחת השיפוע באמצעות נגזרת
בניית משוואה
נוסחת השיפוע באמצעות נגזרת
מה עושים
נחשב נגזרת פונקציה ונציב בנקודת t את ערך השיפוע.
למה
הנגזרת מייצגת את שיפוע המשיק בנקודה על הפונקציה.
השיפוע בנקודה t: m = נגזרת f(t)
נוסחה / הצבה
m = נגזרת(f) בנקודה tm = f'(t)4בניית משוואה
השוואת שיפועי המשיק לשיפוע בין נקודות
בניית משוואה
השוואת שיפועי המשיק לשיפוע בין נקודות
מה עושים
נחשב גם שיפוע בין הנקודה החיצונית לנקודת ההשקה ונסדר משוואה עם שיפוע הנגזרת.
למה
השוואת שני השיפועים היא מפתח למציאת t נכון.
m = (y(t) - y_p) / (x(t) - x_p)
נוסחה / הצבה
m = (y(t) פחות y_p) חלקי (x(t) פחות x_p)m = (y(t) - y_p) / (x(t) - x_p)m = (y(t) - y_p)/(x(t) - x_p)5פתרון
פתרון המשוואה למציאת t
פתרון
פתרון המשוואה למציאת t
מה עושים
פותרים את המשוואה ונקבל את ערך t המתאים.
למה
ערך t מאפשר להגדיר את נקודת ההשקה הדרושה למעבר משיק.
שימוש בערך t לכתיבת משוואת ישר המשיק לפונקציה.
6תשובה
כתיבת משוואת המשיק הסופית
תשובה
כתיבת משוואת המשיק הסופית
מה עושים
נכתב y - y1 = m(x - x1) עם נקודת ההשקה והשיפוע שחושבו.
למה
זו משוואת המשיק המבוקשת לפונקציה שעוברת דרך נקודה חיצונית.
משוואת המשיק מוכנה להצגה ופתרון לבדיקה נוספת.
נוסחה / הצבה
y פחות y1 = m כפול (x פחות x1)y - y1 = m(x - x1)y - y_1 = m(x - x_1)פתרונות כלליים
- מציאת משוואת משיק דרך נקודה חיצונית: ראשית נחשב את השיפוע בנקודת ההשקה t באמצעות נגזרת הפונקציה. לאחר מכן נחשב שיפוע בין הנקודה החיצונית לנקודת ההשקה. את שני השיפועים נשווה ונמצא את t. לבסוף נציב את השיפוע ואת נקודת ההשקה במשוואת ישר.