וידאו · משיק לפונקציה
ב1. משיק לפונקציה בנקודה שעל הפונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מציג תרגיל סטנדרטי למציאת משיק לפונקציה בנקודה נתונה על הפונקציה y = x בריבוע כפול השורש של 5 פחות x בריבוע, הכולל חישוב נקודת ההשקה, חישוב שיפוע המשיק בעזרת נגזרת, וכתיבת משוואת המשיק.
- להבין כיצד לחשב נקודת השקה של משיק לפונקציה בנקודה נתונה
- לחשב נגזרת של פונקציה מורכבת הכוללת חיבור, חיבור מכפלה ושורש
- לחשב שיפוע המשיק בנקודה באמצעות הצבת x בנגזרת
- לכתוב משוואת משיק לפונקציה בנקודה בה ידועים השיפוע ונקודת ההשקה
- הצגת הבעיה: הפונקציה נתונה בצורת מכפלה בין x בריבוע לשורש של הביטוי (5 פחות x בריבוע). יש למצוא נקודת השקה, שיפוע המשיק ומשוואת המשיק בנקודה x=2.
- חישוב נגזרת: מחשבים את נגזרת הפונקציה על ידי שימוש בכלל מכפלה ונגזרת פונקציית שורש מורכבת.
- חישוב שיפוע המשיק: מחשבים את השיפוע על ידי הצבת x=2 בנגזרת ומוודאים שצפוי לקבל -4.
- כתיבת משוואת המשיק: משתמשים בנקודת ההשקה, השיפוע ומטה הפונקציה כדי לכתוב את משוואת המשיק בפורמט y - y1 = m(x - x1).
תרגול קצר
מציאת משיק לפונקציה בנקודה x=2
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = x בריבוע כפול השורש של 5 פחות x בריבוע. מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=2.
רמז: חשוב לחשב קודם את y בנקודה. לאחר מכן מחשבים את הנגזרת של הפונקציה, מציבים את x=2 כדי לקבל את השיפוע. לבסוף משתמשים בנקודת ההשקה ובשיפוע בכתיבת משוואת המשיק.
פתרון מלא
תשובה סופית: y = -4x + 12
1. חישוב y בנקודה x=2: y = 2^2 * sqrt(5 - 2^2) = 4 * sqrt(5 - 4) = 4 * 1 = 4. 2. חישוב נגזרת הפונקציה באמצעות כלל המכפלה ונגזרת השורש. 3. הצבת x=2 בנגזרת לקבלת שיפוע m = -4. 4. כתיבת משוואת המשיק: y - 4 = -4 (x - 2), נקבל y = -4x + 12.
דרך הפתרון
מציאת משוואת המשיק לפונקציה בנקודה נתונה
תרגיל למציאת משיק בפונקציה עם נגזרת מורכבת
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המשיק בנקודה x=2
- נתון 1
נתון 1
y = x בריבוע * sqrt(5 - x בריבוע) - נתון 2
נתון 2
x = 2 - רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את נקודת הפונקציה בנקודה, לחשב את נגזרת הפונקציה, להציב את x בנגזרת לקבלת שיפוע, ולבנות
- נוסחה
משתמשים בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם y1=4, x1=2, m=-4.
y - 4 = -4 (x - 2)y - 4 = -4(x - 2) - משוואה
מחשבים את נגזרת y לפי כלל מכפלה ונגזרת שורש.
מחשבים את נגזרת y לפי כלל מכפלה ונגזרת שורש.
y'= 2x * sqrt(5- x^2)+ x^2 * (-(2x) / (2 sqrt(5- x^2))) - פישוט
מציבים x=2 בנגזרת ומחשבים שיפוע m.
מציבים x=2 בנגזרת ומחשבים שיפוע m.
m = y'(2) = -4 - תוצאה
מסיימים בתשובה
y = -4x + 12
y = -4x + 12
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה ונקודת ההשקה
זיהוי נתונים
הפונקציה ונקודת ההשקה
מה עושים
נתונה הפונקציה x בריבוע כפול שורש של 5 פחות x בריבוע ונקודה x=2.
למה
צריך את הפונקציה והנקודה לחישוב y ושיפוע.
2בחירת שיטה
חישוב נקודת ההשקה
בחירת שיטה
חישוב נקודת ההשקה
מה עושים
מחפשים את ערך y בנקודה x=2.
למה
נקודת ההשקה היא נקודת המשיק שעליו מבוססת המשוואה.
y = x^2 * sqrt(5 - x^2)
נוסחה / הצבה
y = x^2 * sqrt(5 - x^2)הצבת x=2 במקור נותנת y.
3בניית משוואה
חישוב הנגזרת
בניית משוואה
חישוב הנגזרת
מה עושים
מחשבים את נגזרת y לפי כלל מכפלה ונגזרת שורש.
למה
השיפוע הוא הנגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה.
f = x^2; g = sqrt(5 - x^2) f' = 2x; g' = -(2x) / (2 sqrt(5 - x^2)) y' = f' * g + f * g'
נוסחה / הצבה
y'= 2x * sqrt(5- x^2)+ x^2 * (-(2x) / (2 sqrt(5- x^2)))להשתמש בכלל נגזרת המכפלה ושרשרת.
4פתרון
חישוב שיפוע בנקודה
פתרון
חישוב שיפוע בנקודה
מה עושים
מציבים x=2 בנגזרת ומחשבים שיפוע m.
למה
השיפוע בנקודה נותן את ערך m במשוואת המשיק.
נוסחה / הצבה
m = y'(2) = -4בדוק עם מחשבון שהשיפוע שווה -4.
5פתרון
כתיבת משוואת המשיק
פתרון
כתיבת משוואת המשיק
מה עושים
משתמשים בנוסחה y - y1 = m(x - x1) עם y1=4, x1=2, m=-4.
למה
זו המשוואה של המשיק לפונקציה בנקודה הנתונה.
נוסחה / הצבה
y - 4 = -4 (x - 2)y - 4 = -4(x - 2)פשט למשוואה y = -4x + 12.
6תשובה
משוואת המשיק הסופית
תשובה
משוואת המשיק הסופית
מה עושים
y = -4x + 12
למה
משוואת המשיק המבוקשת.
נוסחה / הצבה
y = -4x + 12פתרונות כלליים
- מציאת משיק לפונקציה בנקודה x=2: 1. חישוב y בנקודה x=2: y = 2^2 * sqrt(5 - 2^2) = 4 * sqrt(5 - 4) = 4 * 1 = 4. 2. חישוב נגזרת הפונקציה באמצעות כלל המכפלה ונגזרת השורש. 3. הצבת x=2 בנגזרת לקבלת שיפוע m = -4. 4. כתיבת משוואת המשיק: y - 4 = -4 (x - 2), נקבל y = -4x + 12.