וידאו · אי שוויון
א2. פתרון אי שוויון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד כיצד לפתור אי שוויון באמצעות ניתוח גרפים של פונקציות ריבועיות, ולהבין את חשיבות הציור בפתרון אי שוויונות באופן ברור ומדויק.
- להבין כיצד להשתמש בגרף של פונקציה לתשובה על אי שוויון
- לזהות מתי פונקציה ריבועית גדולה או שווה לאפס
- לפתור אי שוויונות ריבועיים באופן שיטתי
- לזהות תרחישים ללא פתרונות במישור הממשי
- להכיר סוגים שונים של פרבולות והשפעתם על האי שוויון
- הבנת אי שוויון באמצעות גרף: ניתוח הגרף מקנה מענה ברור לאי שוויון על ידי זיהוי האזורים בהם הפונקציה חיובית או שווה לאפס.
- אי שוויון בפונקציה ריבועית: פתרון של אי שוויון ריבועי עובר דרך פתרון המשוואה הריבועית, זיהוי השורשים וציון תחומי החיוביות או השליליות של הפונקציה בין לבין ועל פי צורת הפרבולה.
- אי שוויון ללא פתרון במציאות: כאשר במוד המחשבון מתקבלות תשובות עם I (מסמן מספרים מדומים), מוסכם שאין פתרון במישור הממשי.
תרגול קצר
פתור את האי שוויון x² - 5x + 6 ≥ 0
רמת קושי: קל
פתור את אי השוויון הבא: x בריבוע מינוס 5x ועוד 6 גדול או שווה ל-0.
רמז: מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x, חלק את הקו למקטעים ובדוק את סימן הפונקציה בכל מקטע.
פתרון מלא
תשובה סופית: x ≤ 2 או x ≥ 3
חלץ נקודות חיתוך על ציר ה-x על ידי פתרון המשוואה x² - 5x + 6 = 0. נקודות החיתוך הן: x=2 ו-x=3. פרבולה מחייכת (a=1>0), לכן הפונקציה חיובית מחוץ לפרק שבין 2 ל-3. לכן, הפתרון הוא x ≤ 2 או x ≥ 3.
פתור אי שוויון עם פונקציה ריבועית ללא שורשים ממשיים
רמת קושי: בינוני
פתור את אי השוויון: x² - 3x - 6 < 0.
רמז: חשב את משוואת השורשים, האם קיימים שורשים ממשיים? כדאי לבדוק גם את הדיסקרימיננטה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x בתוך ((3 - שורש 33)/2 , (3 + שורש 33)/2)
הדיסקרימיננטה היא Δ = (-3)² - 4*1*(-6) = 9 + 24 = 33 > 0, לכן יש שורשים ממשיים. לפיכך, נכון לפתור את המשוואה x² - 3x - 6 = 0 ולמצוא את השורשים, ואז לבדוק את סימן הפונקציה בין השורשים ומחוצה להם. השורשים הם x = (3 ± sqrt(33)) / 2. פרבולה מחייכת, לכן הפונקציה שלילית בין השורשים בלבד. לכן הפתרון של האי שוויון הוא: ( (3 - sqrt(33)) / 2 , (3 + sqrt(33)) / 2 ).
ניתוח אי שוויון עם מספרים מדומים
רמת קושי: מאתגר
פתור את אי השוויון x² + 6x + 9 ≥ 0 במישור הממשי.
רמז: חשב את הדיסקרימיננטה z לבדוק אם קיימים שורשים ממשיים.
פתרון מלא
תשובה סופית: כל x ממשי
הדיסקרימיננטה היא Δ = 36 - 36 = 0, יש שורש אחד x = -3. פרבולה מחייכת (a=1>0), לכן הפונקציה תמיד חיובית או שווה לאפס. הפתרון הוא כל x במישור הממשי, כלומר: (-∞ , +∞).
פתור אי שוויון: x² - 3x - 9 < 0
רמת קושי: בגרות
פתור את האי שוויון הבא: x בריבוע פחות 3x פחות 9 קטן מ-0.
רמז: חשוב לבדוק אם הפונקציה חותכת את ציר ה-x ואם לא, מה סימנה בפרבולה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x בתוך ((3 - שורש 45)/2 , (3 + שורש 45)/2)
נחשב את הדיסקרימיננטה: Δ = 9 + 36 = 45 > 0 שורשים: x = (3 ± שורש 45)/2 פרבולה מחייכת, הפונקציה שלילית בין שני השורשים בלבד. לכן הפתרון הוא X בין השורשים: ( (3 - שורש 45)/2 , (3 + שורש 45)/2 ).
דרך הפתרון
פתרון אי שוויון x² - 5x + 6 ≥ 0
שלבי פתרון בעזרת גרף וחישוב נקודות חיתוך
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחומי x המקיימים את האי שוויון
- נתון 1
הביטוי: x² - 5x + 6
- נתון 2
אי שוויון: ≥ 0
- רעיון
הרעיון המרכזי
מחשב את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, מזהה את סוג הפרבולה וקובע את תחומי החיוביות להערכת פתרון האי
- נוסחה
לפתור את המשוואה x² - 5x + 6 = 0.
x^2 - 5x + 6 = 0 - משוואה
x=2 ו-x=3 הן נקודות החיתוך עם ציר ה-x.
x=2 ו-x=3 הן נקודות החיתוך עם ציר ה-x.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הביטוי חיובי מחוץ לתחום שבין 2 ל-3 ולכן הפתרון הוא x ≤ 2 או x ≥ 3.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הביטוי והאי שוויון
זיהוי נתונים
הביטוי והאי שוויון
מה עושים
הביטוי הוא x² - 5x + 6 ואנו מחפשים מתי הוא גדול שווה לאפס.
למה
המשימה היא למצוא את תחומי x שבהם הביטוי לא שלילי.
הנתון הוא פונקציה ריבועית והאי שוויון שצריך לפתור.
2בחירת שיטה
מהו צורת הפונקציה
בחירת שיטה
מהו צורת הפונקציה
מה עושים
פרבולה עם מקדם a חיובי (a=1) מחייכת וציר ה-x הוא קו החיתוך.
למה
כשה-A חיובי הפרבולה מעל ציר ה-x מחייכת ומייצגת חיוביות.
זה מקדם את קביעת תחומי הפתרון.
3בניית משוואה
איפוס הביטוי וזיהוי נקודות חיתוך
בניית משוואה
איפוס הביטוי וזיהוי נקודות חיתוך
מה עושים
לפתור את המשוואה x² - 5x + 6 = 0.
למה
נקודות החיתוך הן גבולות חיוביות הביטוי.
מציאת שורשים לשם חלוקת ציר ה-x.
נוסחה / הצבה
x^2 - 5x + 6 = 0אפשר לפרק לפולינום ראשון או להשתמש בנוסחאות השורשים.
4פתרון
חשב שורשי המשוואה
פתרון
חשב שורשי המשוואה
מה עושים
x=2 ו-x=3 הן נקודות החיתוך עם ציר ה-x.
למה
שורשים מגדירים את החלוקה לאזורים לחיוביל ושלילית.
מקבל נקודות חיתוך ב-2 ו-3.
5תשובה
תחומי האי שוויון
תשובה
תחומי האי שוויון
מה עושים
הביטוי חיובי מחוץ לתחום שבין 2 ל-3 ולכן הפתרון הוא x ≤ 2 או x ≥ 3.
למה
הפרבולה מחייכת אז הפונקציה חיובית מחוץ לשורשים.
זוהי התוצאה הסופית לפתרון אי השוויון.
ניתן לסמן 'או' כדי להפריד בין התחומים.
פתרונות כלליים
- פתור את האי שוויון x² - 5x + 6 ≥ 0: חלץ נקודות חיתוך על ציר ה-x על ידי פתרון המשוואה x² - 5x + 6 = 0. נקודות החיתוך הן: x=2 ו-x=3. פרבולה מחייכת (a=1>0), לכן הפונקציה חיובית מחוץ לפרק שבין 2 ל-3. לכן, הפתרון הוא x ≤ 2 או x ≥ 3.
- פתור אי שוויון עם פונקציה ריבועית ללא שורשים ממשיים: הדיסקרימיננטה היא Δ = (-3)² - 4*1*(-6) = 9 + 24 = 33 > 0, לכן יש שורשים ממשיים. לפיכך, נכון לפתור את המשוואה x² - 3x - 6 = 0 ולמצוא את השורשים, ואז לבדוק את סימן הפונקציה בין השורשים ומחוצה להם. השורשים הם x = (3 ± sqrt(33)) / 2. פרבולה מחייכת, לכן הפונקציה שלילית בין השורשים בלבד. לכן הפתרון של האי שוויון הוא: ( (3 - sqrt(33)) / 2 , (3 + sqrt(33)) / 2 ).
- ניתוח אי שוויון עם מספרים מדומים: הדיסקרימיננטה היא Δ = 36 - 36 = 0, יש שורש אחד x = -3. פרבולה מחייכת (a=1>0), לכן הפונקציה תמיד חיובית או שווה לאפס. הפתרון הוא כל x במישור הממשי, כלומר: (-∞ , +∞).
- פתור אי שוויון: x² - 3x - 9 < 0: נחשב את הדיסקרימיננטה: Δ = 9 + 36 = 45 > 0 שורשים: x = (3 ± שורש 45)/2 פרבולה מחייכת, הפונקציה שלילית בין שני השורשים בלבד. לכן הפתרון הוא X בין השורשים: ( (3 - שורש 45)/2 , (3 + שורש 45)/2 ).