וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א3. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 2
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בזיהוי חקר אסימפטוטות ופונקציית יחס בין פולינומים, כולל מצבים מיוחדים של נקודת חור ונקודות שבהן יש צמצום בין המונה למכנה.
- להבין כיצד לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית
- לזהות אסימפטוטות אנכיות ואופקיות בפונקציה רציונלית
- לזהות נקודות חור על הפונקציה ולהסביר את משמעותן
- להבין כיצד להשתמש בסטיית גבול (לימ) כדי לקבוע התנהגות בנקודות חשודות
- ללמוד לבצע צמצום נכון של פונקציות רציונליות לצורך חישוב גבולות
- תחום ההגדרה ואיתור נקודות אסימפטוטיות: קביעת נקודות שבהן המחנה שווה לאפס כדי למצוא אסימפטוטות אנכיות ופירוק פונקציה לצורך זיהוי נקודות חור.
- חשיבות חישוב גבולות מהצד והערכת גבולות במחשבונים: שימוש בחישוב גבולות סף ימני ושמאלי סביב נקודות אסימפטוטיות לאבחון התנהגות הפונקציה.
- התנהגות הפונקציה באינסוף ואסימפטוטות אופקיות: השוואת חזקות המונה והמכנה לצורך קביעת אסימפטוטות אופקיות.
- נקודות חור ומשמעותן: כאשר יש צמצום בין המונה למכנה הפונקציה מציגה נקודת חור ולא אסימפטוטה אנכית אמיתית.
תרגול קצר
זיהוי תחום ההגדרה ופונקציות אסימפטוטיות
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y= (x-2) / (x^2 -8x +12). מצא את תחום ההגדרה וכן את נקודות האסימפטוטות האנכיות והאופקיות.
רמז: פרק את המחנה למציאת הערכים שמאפסים אותו, חשב גבולות באינסוף.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ו-6; אסימפטוטות אנכיות ב- x=2 ו-x=6; אסימפטוטה אופקית y=0.
תחום ההגדרה הוא כל x המלבד x=2 ו-x=6. אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 וב-x=6. עבור אסימפטוטה אופקית נבדוק את הגבול כש-x שואף לאינסוף. חזקת המונה היא 1, חזקת המכנה 2, לכן האסימפטוטה האופקית היא y=0.
זיהוי נקודת חור בפונקציה
רמת קושי: בינוני
בהינתן הפונקציה y= (x-2) / (x^2 -8x +12), מצא אם קיימת נקודת חור, והראה כיצד למצאה.
רמז: בדוק אם ניתן לצמצם את הפונקציה בין המונה למכנה.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת חור ב-x=2, הפונקציה מצומצמת ל- y=1/(x-6).
המחנה מחולק ל-(x-2)(x-6). ניתן לצמצם את (x-2) במונה ובמחנה, ולכן יש נקודת חור ב-x=2. שווי הפונקציה המוקטנת הוא 1/(x-6), ויש לשים לב שהפונקציה אינה מוגדרת ב-x=2 (נוקיה החור).
חישוב גבולות בשימוש במחשבונים וניתוח התנהגות הפונקציה סביב נקודות אסימפטוטיות
רמת קושי: מאתגר
חשב את הגבולות של הפונקציה y= (x-2) / (x^2 -8x +12) כאשר x שואף ל-2 ו-6 מהצדדים השונים, וניתח את הסימפטוטות והנקודות החריגות שעל פיהם.
רמז: השתמש בחישוב גבולות ימני ושמאלי, בדוק אם יש נקודת חור או אסימפטוטה אמיתית.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת חור ב-x=2 עם ערך 0.25, אסימפטוטה אנכית ב-x=6 עם גבולות לאינסוף.
גבולות ב-x=2 מראים שהתוצאה סופית (0.25), כלומר נקודת חור ולא אסימפטוטה. ב-x=6 הגבול שואף לאינסוף חיובי ושלילי, מה שמעיד על אסימפטוטה אנכית באותה נקודה. יש להשתמש בצמצום כדי למצוא נקודת החור ולזהות השוני בהתנהגות סביב 6.
בחינת פונקציה רציונלית - אסימפטוטות ונקודות חור
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה y= (x-2) / (x^2 -8x +12). סמן את תחום ההגדרה, צייר את האסימפטוטות האנכיות והאופקית, וסמן נקודות חור על הפונקציה עם הסבר קצר.
רמז: השתמש בפירוק למחנה, בצמצום בין המונה למכנה, ובחישוב גבולות בסביבת נקודות החשודות.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ו-6; אסימפטוטה אנכית x=6; אסימפטוטה אופקית y=0; נקודת חור ב-x=2.
תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ו-6. אסימפטוטות אנכיות ב-x=6 בלבד, כי ב-x=2 קיימת נקודת חור בעקבות צמצום המונה והמחנה. אסימפטוטה אופקית ב-y=0. נקודת חור ב-(2,0.25) שבה הפונקציה אינה מוגדרת.
דרך הפתרון
פונקציה וניתוח אסימפטוטות ונקודת חור
y= (x - 2) / (x² - 8x + 12)
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות ואופקית / נקודות חור אם קיימות
- נתון 1
נתון 1
y = (x - 2) חלקי (x בריבוע - 8x + 12) - רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא איפה המחנה מתאפס, נבדוק צמצום בין מונה ומחנה, נחשב גבולות מהצדדים ונזהה אסימפטוטות ונקודות
- נוסחה
נפתור את המחנה שווה לאפס ונמצא ערכים אסורים
x^2 - 8x + 12 = 0 - משוואה
בדוק אם (x - 2) מצוי גם במונה
בדוק אם (x - 2) מצוי גם במונה
y = (x - 2)/((x - 2)(x - 6))y = (x - 2) / ((x - 2)(x - 6)) - פישוט
צמצם את הביטוי במונה ומחנה
צמצם את הביטוי במונה ומחנה
y = 1/(x - 6)y = (1)/(x - 6) - תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב גבול כאשר x שואף לאינסוף
לימ x-> ±∞ של 1/(x - 6) = 0_x (1)/(x - 6) = 0 - בדיקה
בדיקה קצרה
- פרמק את המחנה
- בדוק צמצום בין מונה למכנה
- זהירות: אי זיהוי נקודת החור וצמצום לא נכון
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
קביעת תחום ההגדרה
זיהוי נתונים
קביעת תחום ההגדרה
מה עושים
נפתור את המחנה שווה לאפס ונמצא ערכים אסורים
למה
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המחנה = 0
x בריבוע פחות 8x ועוד 12 שווה לאפס
נוסחה / הצבה
x^2 - 8x + 12 = 0פקטוריזציה תעזור לפשט
2בחירת שיטה
פקטוריזציה של המחנה
בחירת שיטה
פקטוריזציה של המחנה
מה עושים
פקטור את המחנה למכופלים לינאריים
למה
כן נוכל לאתר את שורשי המחנה בקלות
אפשר לכתוב המחנה כ-(x - 2)(x - 6)
נוסחה / הצבה
(x - 2)(x - 6)גלה את אפסיי המחנה
3בניית משוואה
בדיקת צמצום בין מונה למכנה
בניית משוואה
בדיקת צמצום בין מונה למכנה
מה עושים
בדוק אם (x - 2) מצוי גם במונה
למה
אם כן, נוכל לצמצם ולזהות נקודת חור
המונה הוא x-2, משותף עם אחד מהמכפלים של המחנה
נוסחה / הצבה
y = (x - 2)/((x - 2)(x - 6))y = (x - 2) / ((x - 2)(x - 6))יש צמצום אפשרי
4פתרון
צמצום הפונקציה
פתרון
צמצום הפונקציה
מה עושים
צמצם את הביטוי במונה ומחנה
למה
כך נקבל את הפונקציה הפשוטה לחקר
y = 1/(x - 6)
נוסחה / הצבה
y = 1/(x - 6)y = (1)/(x - 6)זכור כי ב-x=2 תהיה נקודת חור
5פתרון
הגדרת תחום הפונקציה אחרי הצמצום
פתרון
הגדרת תחום הפונקציה אחרי הצמצום
מה עושים
תחום ההגדרה נשאר עם איסור ב-x=6 ו-x=2
למה
מחיר חסום בנקודת החור
הפונקציה מוגדרת בכל מלבד ב-x=2 ו-x=6
2 היא נקודת חור, 6 אסימפטוטה אנכית
6פתרון
חישוב אסימפטוטות אופקית
פתרון
חישוב אסימפטוטות אופקית
מה עושים
חשב גבול כאשר x שואף לאינסוף
למה
לקבוע את ערך האסימפטוטה האופקית
לימ של y כש-x שואף אינסוף = 0
נוסחה / הצבה
לימ x-> ±∞ של 1/(x - 6) = 0_x (1)/(x - 6) = 0חזקת המכנה גבוהה יותר
פתרונות כלליים
- זיהוי תחום ההגדרה ופונקציות אסימפטוטיות: תחום ההגדרה הוא כל x המלבד x=2 ו-x=6. אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 וב-x=6. עבור אסימפטוטה אופקית נבדוק את הגבול כש-x שואף לאינסוף. חזקת המונה היא 1, חזקת המכנה 2, לכן האסימפטוטה האופקית היא y=0.
- זיהוי נקודת חור בפונקציה: המחנה מחולק ל-(x-2)(x-6). ניתן לצמצם את (x-2) במונה ובמחנה, ולכן יש נקודת חור ב-x=2. שווי הפונקציה המוקטנת הוא 1/(x-6), ויש לשים לב שהפונקציה אינה מוגדרת ב-x=2 (נוקיה החור).
- חישוב גבולות בשימוש במחשבונים וניתוח התנהגות הפונקציה סביב נקודות אסימפטוטיות: גבולות ב-x=2 מראים שהתוצאה סופית (0.25), כלומר נקודת חור ולא אסימפטוטה. ב-x=6 הגבול שואף לאינסוף חיובי ושלילי, מה שמעיד על אסימפטוטה אנכית באותה נקודה. יש להשתמש בצמצום כדי למצוא נקודת החור ולזהות השוני בהתנהגות סביב 6.
- בחינת פונקציה רציונלית - אסימפטוטות ונקודות חור: תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ו-6. אסימפטוטות אנכיות ב-x=6 בלבד, כי ב-x=2 קיימת נקודת חור בעקבות צמצום המונה והמחנה. אסימפטוטה אופקית ב-y=0. נקודת חור ב-(2,0.25) שבה הפונקציה אינה מוגדרת.