MMATH
התחברות

וידאו · משוואות לוגריתמיות

א3. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%

סיכום שיעור

  • הסבר מעמיק על חוקי כינוס לוגריתמים (חוק החיבור, חוק החיסור, וחוק המקדם) ופתרון משוואות לוגריתמיות עם שני לוגים על בסיס זהה. הדגמה מעשית של הפיכת ביטוי עם שני לוגריתמים ללוגריתם אחד ופתרון המשוואה הריבועית הנובעת מכך.
  • להבין את חוקי כינוס הלוגריתמים (חיבור וחיסור)
  • ליישם חוק המקדם על לוגריתמים
  • לכנס שני לוגריתמים לביטוי לוגריתמי אחד
  • להפוך משוואה לוגריתמית למשוואה אלגברית ולפתור אותה
  • לבדוק את תחום ההגדרה של הלוגריתמים בפתרון המשוואה
  • לבצע בקרה על התשובות המתקבלות
  • חוקי לוגריתמים בסיסיים: הצגת חוקי חיבור וחיסור הלוגריתמים: לוג של מכפלה הוא סכום הלוגים, ולוג של מנה הוא הפרש הלוגים. המחשה של החוק המחייב שהמקדמים של הלוגריתמים בצדדים יהיו אחדים.
  • חוק המקדם של הלוגריתם: הצגת חוק המקדם שמאפשר להוציא מקדם מוכפל בפתח הלוגריתם כמחזיר את המקדם כחזקת בסיס הלוגריתם.
  • פתרון משוואה לוגריתמית עם שני לוגריתמים: הדגמת המרה של שני לוגריתמים לביטוי לוגריתמי אחד על ידי חוק החיבור/חיסור, יצירת משוואה אלגברית והבאתה למשוואה ריבועית, פתרון המשוואה וביצוע בקרה וכן בדיקת תחום ההגדרה.

תרגול קצר

למידה: כינוס לוגריתמים פשוט עם חוק החיבור

רמת קושי: קל

ממתין

פשט את הביטוי הבא ללוגריתם אחד בלבד: \nלוג בסיס 3 של x בריבוע פלוס לוג בסיס 3 של \n (x + 6) שווה למשוואה.

לוגריתמיםחוק החיבורפישוט

רמז: השתמש בחוק החיבור של הלוגריתמים: סכום לוגים הוא לוג של מכפלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: log_3 (x^2 (x + 6))

לפי חוק החיבור, לוג בסיס 3 של x בריבוע ועוד לוג בסיס 3 של (x + 6) שווה ללוג בסיס 3 של (x בריבוע כפול (x + 6))

פתרון משוואה עם שני לוגריתמים

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה הבאה: \nלוג בסיס 3 של x בריבוע פלוס לוג בסיס 3 של (x + 6) = 3

לוגריתמיםפתרון משוואותתחום הגדרהבקרה

רמז: כנס את שני הלוגריתמים לאחד על ידי חוק החיבור, לאחר מכן כתוב את המשוואה האלגברית ופתור.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 3

בעזרת חוק החיבור נקבל: לוג בסיס 3 של (x^2 * (x + 6)) = 3. פירוש המשוואה: 3 בחזקת 3 = x^2 * (x + 6) כלומר, 27 = x^2 (x + 6). פתרון המשוואה הריבועית: x^3 + 6x^2 - 27 = 0. פתרון על ידי פירוק או נוסחאות. התשובות הן x=3 או x=-3. בדיקת תחום ההגדרה שוללת את x=-3. התשובה הסופית היא x=3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה לוגריתמית עם שני לוגריתמים

כינוס לוגריתמים ופתרון משוואה ריבועית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מצא את ערך x שמקיים את המשוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    לוג בסיס 3 של x בריבוע + לוג בסיס 3 של (x + 6) = 3
  3. נתון 2

    x הוא מספר ממשי

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לכנס את הלוגים ללוגריתם אחד, ליצור משוואה אלגברית, לפתור משוואה ריבועית ולבדוק תחום הגדרה ובקרה.

  5. נוסחה

    ליישם הגדרת לוגריתם כדי לקבל משוואה אלגברית.

    log_3(Y) = 3=> 3^3 = Y_3(Y) = 3 3^3 = Y
  6. משוואה

    כתוב ופתור את המשוואה האלגברית שנוצרה: x^2 (x + 6) = 27

    כתוב ופתור את המשוואה האלגברית שנוצרה: x^2 (x + 6) = 27

    x^3 + 6x^2 - 27 = 0
  7. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בדוק שכל ערך של x יגרום לתוכן הלוגריתם להיות חיובי

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

בחירת שיטה

לכנס שני לוגריתמים ללוגריתם אחד

מה עושים

להשתמש בחוק החיבור של הלוגריתמים כדי לאחד את הביטויים ללוגריתם אחד.

למה

קשה לפתור משוואה עם שני לוגריתמים, לפשט אותה ללוגריתם אחד מצמצם את המשוואה.

לפי חוק החיבור, לוג בסיס 3 של x בריבוע ועוד לוג בסיס 3 של (x + 6) שווה ללוג בסיס 3 של (x בריבוע כפול (x + 6)).

נוסחה / הצבה

log_3(x^2) + log_3(x+6) = log_3(x^2 * (x+6))log_3 (x^2) + log_3 (x + 6) = log_3 (x^2 * (x + 6))_3(x^2) + _3(x+6) = _3(x^2(x+6)\)

הקפד שהבסיסים של הלוגריתמים יהיו זהים.

2

בניית משוואה

לכתוב משוואה אלגברית מתוך הלוגריתם

מה עושים

ליישם הגדרת לוגריתם כדי לקבל משוואה אלגברית.

למה

רגע שמטרת הלוג הופרה למשוואה הניתנת לפתרון באמצעות אלגברה.

לוג בסיס 3 של ביטוי X שווה 3, משמע 3 בחזקת 3 שווה לביטוי X.

נוסחה / הצבה

log_3(Y) = 3=> 3^3 = Y_3(Y) = 3 3^3 = Y

החלף את הלוגריתם במשוואה חזקה.

3

פתרון

יצירת משוואה ריבועית ופתרונה

מה עושים

כתוב ופתור את המשוואה האלגברית שנוצרה: x^2 (x + 6) = 27

למה

המשוואה האלגברית מאפשרת פתרון בעזרת חיבור איברים והוצאת גורם משותף.

x^3 + 6x^2 = 27 => x^3 + 6x^2 - 27 = 0. מציאת שורשים על ידי פירוק, נוסחאות או פתרון מספרי.

נוסחה / הצבה

x^3 + 6x^2 - 27 = 0

השתמש בשיטות פתרון משוואות ריבועיות או נסיון ערכים.

4

בדיקה

וודא שהפתרונות בתחום ההגדרה

מה עושים

בדוק שכל ערך של x יגרום לתוכן הלוגריתם להיות חיובי

למה

לוגריתם מוגדר רק על מספרים חיוביים, הפתרונות מחוץ לתחום אינם תקפים.

x > 0 ו-x + 6 > 0 כלומר x > 0

התעלם מפתרונות שלא מביאים לתוכן חוקי.

5

בדיקה

בדוק שהתשובות נכונות באמצעות הצבה במשוואה המקורית

מה עושים

הציב את התשובות למשוואה ובדוק אם מתקבלת הזהות

למה

בקרת המענה מוודאת את נכונות הפתרון ולא תוצאות שגויות או מיותרות.

x=3 תקין ומתן לוג על בסיס 3 של ערכים חיוביים. x=-3 אינו תקין כי התוכן של הלוגריתם שלילי.

השתמש במחשבון כדי לוודא

פתרונות כלליים

  • למידה: כינוס לוגריתמים פשוט עם חוק החיבור: לפי חוק החיבור, לוג בסיס 3 של x בריבוע ועוד לוג בסיס 3 של (x + 6) שווה ללוג בסיס 3 של (x בריבוע כפול (x + 6))
  • פתרון משוואה עם שני לוגריתמים: בעזרת חוק החיבור נקבל: לוג בסיס 3 של (x^2 * (x + 6)) = 3. פירוש המשוואה: 3 בחזקת 3 = x^2 * (x + 6) כלומר, 27 = x^2 (x + 6). פתרון המשוואה הריבועית: x^3 + 6x^2 - 27 = 0. פתרון על ידי פירוק או נוסחאות. התשובות הן x=3 או x=-3. בדיקת תחום ההגדרה שוללת את x=-3. התשובה הסופית היא x=3.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.