וידאו · משוואות לוגריתמיות
א2. חוקי לוגים ומשוואות לוגריתמיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא משוואות לוגריתמיות הכולל פתרון משוואות, בדיקת תחום הגדרה, ובהבנת שגיאות נפוצות עם עזרים ממוחשבים. מתמקד בהבנת חוקי הלוגריתם, הפיכת משוואות לוגריתמיות לביטויים חזקה, ובקרה באמצעות מחשבון.
- להבין ולהשתמש בחוקי הלוגריתם לפתרון משוואות לוגריתמיות
- לזהות ולחשב תחום הגדרה של לוגריתם
- להמיר משוואה לוגריתמית למשוואה חזקה ולפתור אותה
- לבצע בקרה באמצעות חישובית לאימות הפתרון
- להכיר טעויות נפוצות ולמנוע פתרונות שאינם תקפים
- הגדרת הלוגריתם וחוקיו: הלוגריתם מוגדר כשאלה: באיזו חזקה יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר הנתון? חוקי הלוגריתם מאפשרים להמיר לוגריתם למשוואה בחזקות ולהיפך.
- פתרון משוואות לוגריתמיות: המרת המשוואה הלוגריתמית לצורה חזקה, פתרון המשוואה שנותנת אותה, תוך שמירה על חוקי התחום והבקרות המתמטיות הנדרשות.
- תחום הגדרת הלוגריתם ובקרה: בדיקת תחום ההגדרה היא הכרחית בפתרון משוואות לוגריתמיות כדי למנוע פתרונות לא תקפים הנובעים מבסיס או תוכן לא חוקי של הלוג.
תרגול קצר
פתור: לוג בבסיס X של 3 = 2
רמת קושי: קל
נתונה המשוואה: log_x(3) = 2. מצא את ערך x.
רמז: השתמש בהגדרת הלוגריתם: a בחזקת c שווה ל-b.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = שורש ריבועי של 3
מההגדרה: x בחזקת 2 = 3. לכן x = שורש ריבועי של 3 (חיובי בלבד).
פתור: לוג על בסיס 2 של לוג על בסיס 3 של X שווה 1
רמת קושי: בינוני
נתונה המשוואה: log_2 (log_3 (X)) = 1. חשב את ערך X.
רמז: הציב t = log_3(X) והמר את המשוואה לפתרון פשוט יותר.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 9
log_2(t) = 1 1af 2^1 = t 1af t = 2. לכן log_3(X) = 2. שוב לפי ההגדרה, 3^2 = X. לכן X = 9.
פתור משוואה עם בקרה: שתי לוגריתמים שווים
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה: 2log_3(X) - 5 = 1.
רמז: בודדים את log_3(X), ואז עוברים לחזקה
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 27
2log_3(X) = 6 1af log_3(X) = 3. לפי ההגדרה 3^3 = X. לכן X = 27.
פתור ובדוק את תחום ההגדרה של המשוואה
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה: log_x(4) = 2 והסבר מהו תחום ההגדרה של הלוג במקרה זה.
רמז: המר למשוואת חזקה ותוודא שהבסיס והתוכן תקינים בתחומם.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 2
מההגדרה: x^2 = 4. לכן x = 1af 2 או -2. תחום ההגדרה: x > 0 ו-x 2. לכן x = 2 בלבד תקין.
דרך הפתרון
פתרון המשוואה log_x(3) = 2
יישום חוקי הלוגריתם לפתרון משוואה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך x
- נתון 1
נתון 1
log_x(3) = 2 - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בהגדרת הלוגריתם ולהמיר לחזקה לפתרון x.
- נוסחה
לזכור כי log_a(b) = c 1af a^c = b
log_a(b) = ca^c = b_a(b)=c a^c=b - משוואה
נתונה המשוואה log_x(3) = 2
נתונה המשוואה log_x(3) = 2
- פישוט
x שווה לשורש ריבועי של 3
x שווה לשורש ריבועי של 3
x = sqrt(3)x = 23 - תוצאה
מסיימים בתשובה
x חייב להיות חיובי ושונה מ-1
- בדיקה
בדיקה קצרה
- המר למשוואת חזקה
- בדוק תחום הגדרת הלוגריתם
- זהירות: שכיחת בדיקת תחום ההגדרה לפני הוצאת שורש
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
נתונה המשוואה log_x(3) = 2
למה
כאן מתחילים לפתור עבור x.
המשוואה היא לוגריתמית עם בסיס לא ידוע x.
2זיהוי נתונים
הגדרת הלוגריתם
זיהוי נתונים
הגדרת הלוגריתם
מה עושים
לזכור כי log_a(b) = c 1af a^c = b
למה
כדי להמיר משוואה לוגריתמית לצורה חזקה.
נשתמש בהגדרה זו להמשך פתרון.
נוסחה / הצבה
log_a(b) = ca^c = b_a(b)=c a^c=b3בחירת שיטה
המרת המשוואה לחזקה
בחירת שיטה
המרת המשוואה לחזקה
מה עושים
לכתוב x בחזקת 2 שווה ל-3
למה
כדי לקבל משוואה שניתן לפתור בקלות
משמעות המשוואה היא x^2 = 3
נוסחה / הצבה
x^2 = 3x^2=3זה מאפשר לפתור על ידי הוצאת שורש.
4פתרון
להוציא שורש ריבועי
פתרון
להוציא שורש ריבועי
מה עושים
x שווה לשורש ריבועי של 3
למה
כדי למצוא את ערך x שמקיים את המשוואה
שורש של 3 יכול להיות חיובי או שלילי, אבל תחום ההגדרה מחייב x>0
נוסחה / הצבה
x = sqrt(3)x = 23x=3התשובה השלילית לא מתאימה לפי תחום ההגדרה.
5בדיקה
וודא תחום הגדרה
בדיקה
וודא תחום הגדרה
מה עושים
x חייב להיות חיובי ושונה מ-1
למה
כדי שהלוגריתם יהיה מוגדר היטב
לכן x = sqrt(3) תקף כי הוא חיובי ושונה מ-1
חשוב לבדוק תחום הגדרה לפני סיום.
6תשובה
תשובה סופית
תשובה
תשובה סופית
מה עושים
x = שורש ריבועי של 3
למה
המכיל ערך שמהווה בסיס חוקי ללוגריתם
התוצאה היא היחידה תקפה באופן מתמטי
נוסחה / הצבה
x = sqrt(3)x = 23x=3פתרונות כלליים
- פתור: לוג בבסיס X של 3 = 2: מההגדרה: x בחזקת 2 = 3. לכן x = שורש ריבועי של 3 (חיובי בלבד).
- פתור: לוג על בסיס 2 של לוג על בסיס 3 של X שווה 1: log_2(t) = 1 1af 2^1 = t 1af t = 2. לכן log_3(X) = 2. שוב לפי ההגדרה, 3^2 = X. לכן X = 9.
- פתור משוואה עם בקרה: שתי לוגריתמים שווים: 2log_3(X) = 6 1af log_3(X) = 3. לפי ההגדרה 3^3 = X. לכן X = 27.
- פתור ובדוק את תחום ההגדרה של המשוואה: מההגדרה: x^2 = 4. לכן x = 1af 2 או -2. תחום ההגדרה: x > 0 ו-x 2. לכן x = 2 בלבד תקין.