וידאו · נקודות קיצון
א2. מציאת קיצון על פונקציית פולינום
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בזיהוי נקודות הקיצון של פונקציית פולינום באמצעות גזירת הנגזרת הראשונה, פתרון משוואה להצבת אפס בנגזרת ובדיקת השינויים בסימן הנגזרת לציון תחומי עלייה וירידה.
- להבין ולהגדיר את תחום ההגדרה של פונקציית פולינום פשוטה
- למצוא את הנגזרת הראשונה של פונקציה פולינומית
- לפתור את המשוואה הנובעת מהנגזרת ששווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון
- לאמת את הפתרונות באמצעות הצבה בנגזרת
- לסמן על ציר את נקודות הקיצון ותחומי העלייה והירידה
- להבחין בין נקודות מינימום ומקסימום באמצעות סימן הנגזרת באזורי הסביבה
- הגדרת תחום ההגדרה: הנושא מדבר על תחום ההגדרה של פונקציית פולינום פשוטה ללא מכנים, שורשים או לוגים, ולכן התחום הוא כל מספר ממשי.
- גזירת הפונקציה ומציאת נקודות קיצון: גוזרים את הפונקציה, שווים את הנגזרת לאפס ומפתרים את המשוואה באמצעות הוצאת גורמים משותפים ומחפילות כדי למצוא נקודות קיצון אפשריות.
- אימות נקודות הקיצון: בודקים את ערכי הנקודות שמצאנו על ידי הצבתם בנגזרת המקורית ובפונקציה כדי לאמת טיב הפתרונות.
תרגול קצר
מציאת נקודות קיצון לפונקציה פשוטה
רמת קושי: קל
פונקציה g מוגדרת כך: g(x) = x^3 - 3x^2 + 2. מצאו את נקודות הקיצון של g.
רמז: גזרו את הפונקציה, שוו את הנגזרת לאפס ופתרו את המשוואה.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x=0 ו-x=2
גזירת הפונקציה: g'(x) = 3x^2 - 6x שווים לאפס: 3x^2 - 6x = 0 מוציאים גורם 3x: 3x(x - 2) = 0 פתרונות: x=0 או x=2 לבדוק אלו נקודות קיצון באמצעות שינוי סימן הנגזרת בין הערכים.
קביעת תחומי עלייה וירידה
רמת קושי: בינוני
פונקציה h(t) = t^4 - 4t^3 + 4t^2. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
רמז: לאחר שמוצאים את נקודות הקיצון, בדקו את סימן הנגזרת בטווחים שבין הנקודות.
פתרון מלא
תשובה סופית: עולה ב (0,1) וב (2,∞); יורד ב (-∞,0) וב (1,2)
נגזרת: h'(t) = 4t^3 - 12t^2 + 8t = 4t(t^2 - 3t + 2) מחפילות נוספות: t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) נקודות קיצון ב-t=0,1,2 בדיקת סימן הנגזרת בטווחים: טווח (-∞,0): נבחר t=-1 -> h'(-1)=4*(-1)(1+3+2)<0 -> ירידה טווח (0,1): t=0.5 -> h'(0.5)>0 -> עליה טווח (1,2): t=1.5 -> h'(1.5)<0 -> ירידה טווח (2,∞): t=3 -> h'(3)>0 -> עליה תחומי עלייה: (0,1) ∪ (2,∞) תחומי ירידה: (-∞,0) ∪ (1,2)
נקודות קיצון לפונקציה פולינומית רבת שריגים
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג. סמנו על ציר את נקודות הקיצון וסמנו תחומי עלייה וירידה.
רמז: גזרו את הפונקציה, פתרו את המשוואה y' = 0, בצעו בדיקות סימן בנקודות שבין הפתרונות.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום הגדרה: כל x נקודות קיצון: 0 (מינימום), 0.5 (מקסימום), 1 (מינימום) תחומי עלייה: (0, 0.5) ו-(1, ∞) תחומי ירידה: (-∞, 0) ו-(0.5,1)
א. תחום ההגדרה הוא כל x ממשי. ב. נגזרת: y' = 4x^3 - 6x^2 + 2x פתרון המשוואה: 2x (2x^2 - 3x +1) = 0 2x = 0 ⇒ x=0 2x^2 - 3x +1=0 Δ=9 - 8=1 x= (3±1)/4 ⇒ x=1 או x=0.5 נקודות קיצון: x=0, 0.5, 1 ג. בדיקת סימן נגזרת: למשל x=-1: y' < 0 (יורד) x=0.1: y' > 0 (עולה) x=0.6: y' < 0 (יורד) x=2: y' > 0 (עולה) תחומי עלייה: (0, 0.5) ∪ (1, ∞) תחומי ירידה: (-∞, 0) ∪ (0.5, 1) נקודת מקסימום ב-x=0.5, נקודות מינימום ב-x=0 ו-x=1.
דרך הפתרון
מפת פתרון למציאת נקודות קיצון בפונקציה פולינומית
שלבים פשוטים למציאת נקודות קיצון של פונקציית פולינום
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות קיצון (מקסימום ומינימום) של הפונקציה / תחומי עלייה וירידה
- נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - נתון 2
תחום ההגדרה: כל x ממשי
- רעיון
הרעיון המרכזי
גזור את הפונקציה, אפס את הנגזרת, פתר את המשוואה, ובדוק סימן הנגזרת בין הפתרונות.
- נוסחה
השווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה.
4x^3 - 6x^2 + 2x = 02x (2x^2 - 3x + 1) = 04x^(3) - 6x^(2) + 2x = 02x (2x^(2) - 3x + 1) = 0 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
פתור את המשוואות הפנימיות: 2x=0 ו- 2x^2 - 3x +1=0.
פתור את המשוואות הפנימיות: 2x=0 ו- 2x^2 - 3x +1=0.
2x=0 ⇒ x=02x^2 - 3x +1=0 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הציב ערכים בין נקודות הקיצון בנגזרת ובדוק האם הערך חיובי או שלילי.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה ותחום ההגדרה
זיהוי נתונים
הפונקציה ותחום ההגדרה
מה עושים
הפונקציה נתונה ב-f(x) והתחום הוא כל המספרים הממשיים.
למה
פונקציית פולינום מוגדרת על כל x ולכן אין מגבלת תחום.
זכור לבדוק תחום הגדרה כדי לוודא שאתה פותר נכון.
ראשית ודא תחום ההגדרה לפני תחילת הפתרון.
2בחירת שיטה
מצא נקודות קיצון באמצעות נגזרת
בחירת שיטה
מצא נקודות קיצון באמצעות נגזרת
מה עושים
מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה והשווה אותה לאפס.
למה
נקודות קיצון הן ערכים שבהם שיפוע הפונקציה הוא אפס.
גזור את f לקבלת f' ופתור f'(x)=0.
נוסחה / הצבה
y = x^4 - 2x^3 + x^2y' = 4x^3 - 6x^2 + 2xy = x^(4) - 2x^(3) + x^(2)y' = 4x^(3) - 6x^(2) + 2xגזור בזהירות עבור פולינומים.
3בניית משוואה
פתרון המשוואה y' = 0
בניית משוואה
פתרון המשוואה y' = 0
מה עושים
השווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה.
למה
נקודות שבהן y' = 0 הן נקודות קיצון אפשריות.
הוצא גורמים משותפים ופרק מחפילות לפתרון קל יותר.
נוסחה / הצבה
4x^3 - 6x^2 + 2x = 02x (2x^2 - 3x + 1) = 04x^(3) - 6x^(2) + 2x = 02x (2x^(2) - 3x + 1) = 0יש להוציא גורם משותף לפני פתרון המשוואה.
4פתרון
מציאת ערכי x של נקודות קיצון
פתרון
מציאת ערכי x של נקודות קיצון
מה עושים
פתור את המשוואות הפנימיות: 2x=0 ו- 2x^2 - 3x +1=0.
למה
כל פתרון נותן נקודת קיצון פוטנציאלית.
מפתרים לפי נוסחת השורשים או פירוק לראשונים.
נוסחה / הצבה
2x=0 ⇒ x=02x^2 - 3x +1=0Δ=9-8=1x= (3 ± 1)/4 ⇒ x=1 או x=0.5אנליזה שורשים על ידי נוסחת השורשים.
5בדיקה
בדיקת שינוי סימן הנגזרת בין הנקודות
בדיקה
בדיקת שינוי סימן הנגזרת בין הנקודות
מה עושים
הציב ערכים בין נקודות הקיצון בנגזרת ובדוק האם הערך חיובי או שלילי.
למה
שינוי בסימן הנגזרת מייצג שינוי בעלייה או ירידה.
סוגר את סוג נקודת הקיצון ומאפשר סימון תחומי עלייה וירידה.
סמן חץ עולה לייצוג עלייה, חץ יורד לירידה.
6תשובה
סיכום נקודות קיצון ותחומים
תשובה
סיכום נקודות קיצון ותחומים
מה עושים
סמן על הציר את הקיצונים וכתוב את תחומי העלייה והירידה.
למה
המחשה גרפית עוזרת להבנת התנהגות הפונקציה.
נקודות קיצון: x=0 (מינימום), x=0.5 (מקסימום), x=1 (מינימום). תחומי עלייה: (0, 0.5) ו-(1, ∞) תחומי ירידה: (-∞, 0) ו-(0.5, 1)
תיעוד מסודר מייעל זכירה והבנה.
פתרונות כלליים
- מציאת נקודות קיצון לפונקציה פשוטה: גזירת הפונקציה: g'(x) = 3x^2 - 6x שווים לאפס: 3x^2 - 6x = 0 מוציאים גורם 3x: 3x(x - 2) = 0 פתרונות: x=0 או x=2 לבדוק אלו נקודות קיצון באמצעות שינוי סימן הנגזרת בין הערכים.
- קביעת תחומי עלייה וירידה: נגזרת: h'(t) = 4t^3 - 12t^2 + 8t = 4t(t^2 - 3t + 2) מחפילות נוספות: t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) נקודות קיצון ב-t=0,1,2 בדיקת סימן הנגזרת בטווחים: טווח (-∞,0): נבחר t=-1 -> h'(-1)=4*(-1)(1+3+2)<0 -> ירידה טווח (0,1): t=0.5 -> h'(0.5)>0 -> עליה טווח (1,2): t=1.5 -> h'(1.5)<0 -> ירידה טווח (2,∞): t=3 -> h'(3)>0 -> עליה תחומי עלייה: (0,1) ∪ (2,∞) תחומי ירידה: (-∞,0) ∪ (1,2)
- נקודות קיצון לפונקציה פולינומית רבת שריגים: א. תחום ההגדרה הוא כל x ממשי. ב. נגזרת: y' = 4x^3 - 6x^2 + 2x פתרון המשוואה: 2x (2x^2 - 3x +1) = 0 2x = 0 ⇒ x=0 2x^2 - 3x +1=0 Δ=9 - 8=1 x= (3±1)/4 ⇒ x=1 או x=0.5 נקודות קיצון: x=0, 0.5, 1 ג. בדיקת סימן נגזרת: למשל x=-1: y' < 0 (יורד) x=0.1: y' > 0 (עולה) x=0.6: y' < 0 (יורד) x=2: y' > 0 (עולה) תחומי עלייה: (0, 0.5) ∪ (1, ∞) תחומי ירידה: (-∞, 0) ∪ (0.5, 1) נקודת מקסימום ב-x=0.5, נקודות מינימום ב-x=0 ו-x=1.