וידאו · נקודות קיצון
א1. מציאת נקודות קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד על נקודות קיצון של פונקציה, כיצד לזהות אותן באמצעות נגזרת, ומה המשמעות הגיאומטרית שלהן עם דגש על נקודות מינימום ומקסימום.
- להבין מהן נקודות קיצון בפונקציה
- לדעת למצוא נקודות קיצון על ידי נגזרת ראשונה והשוואתה לאפס
- להבין את הקשר בין שיפוע המשיק לנקודות הקיצון
- לרשום תחום הגדרה ולהביע משמעותו בציור
- מבוא לנקודות קיצון: הגדרה והמשמעות הגיאומטרית של נקודות מינימום ומקסימום בפונקציה.
- זיהוי נקודות קיצון באמצעות נגזרת: שימוש בנגזרת הפונקציה למציאת נקודות בהן השיפוע הוא אפס, כלומר נקודות בהן ייתכנו קיצונים.
תרגול קצר
מציאת נקודת קיצון פונקציה ריבועית
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = x^2 - 4x + 3. מצא את נקודת הקיצון שלה.
רמז: נגזר את הפונקציה וחפש את הערכים שבהם הנגזרת שווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת הקיצון היא (2, -1)
הנגזרת של הפונקציה היא f'(x) = 2x - 4. נשווה ל0: 2x - 4 = 0. נמצא x=2. נחשב את ערך הפונקציה בנקודה זו: f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. לכן נקודת הקיצון היא (2, -1).
דרך הפתרון
מציאת נקודת קיצון של הפונקציה f(x) = x^2 - 4x + 3
שלבים למציאת נקודת מינימום או מקסימום
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודת הקיצון של הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x^2 - 4x + 3 - רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את הנגזרת של הפונקציה, להשוות אותה לאפס ולפתור את המשוואה כדי למצוא את נקודות הקיצון.
- נוסחה
פתור את המשוואה f'(x) = 0
2x - 4 = 0 - משוואה
פתור את המשוואה הנומרית
פתור את המשוואה הנומרית
- פישוט
הכנס את הערך שמצאת לפונקציה המקורית
הכנס את הערך שמצאת לפונקציה המקורית
f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1f(2) = 2^(2) - 4 x 2 + 3 = -1 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הנקודה היא (2, -1)
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי הפונקציה
- חישוב נגזרת ראשונה
- זהירות: שכחה לשוות את הנגזרת לאפס
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדר פונקציה
זיהוי נתונים
הגדר פונקציה
מה עושים
רשום את הפונקציה הנתונה f(x) = x^2 - 4x + 3
למה
מכיוון שזו הפונקציה שעבורה נרצה למצוא נקודות קיצון
נתונה הפונקציה במשתנה x.
2בחירת שיטה
חשב נגזרת ראשונה
בחירת שיטה
חשב נגזרת ראשונה
מה עושים
נגזר את הפונקציה לקבלת f'(x)
למה
השיפוע של המשיק שווה לנגזרת ולכן חשוב לדעת אותה כדי למצוא נקודות קיצון
הנגזרת ממפה את השיפועים של המשיקים לפונקציה לכל x.
נוסחה / הצבה
f'(x) = 2x - 4נגזרות של פונקציה ריבועית הן פשוטות וידועות.
3בניית משוואה
שווה ל-0 את הנגזרת
בניית משוואה
שווה ל-0 את הנגזרת
מה עושים
פתור את המשוואה f'(x) = 0
למה
כדי למצוא את ערכי x בהם השיפוע אופקי ונקודת קיצון אפשרית
משוואת קיצון היא כאשר הנגזרת מתאפסת.
נוסחה / הצבה
2x - 4 = 0פתור למשוואה פשוטה בשלב הבא.
4פתרון
מצא x של נקודת קיצון
פתרון
מצא x של נקודת קיצון
מה עושים
פתור את המשוואה הנומרית
למה
כדי לקבל את ערך x המדויק של נקודת הקיצון
העבר את המספר וצור שברים לפי הצורך.
5פתרון
חשב ערך הפונקציה בנקודה
פתרון
חשב ערך הפונקציה בנקודה
מה עושים
הכנס את הערך שמצאת לפונקציה המקורית
למה
כדי לקבל את ערך ה-y של נקודת הקיצון
חישוב ערך הפונקציה בנקודת הקיצון
נוסחה / הצבה
f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1f(2) = 2^(2) - 4 x 2 + 3 = -16תשובה
רשום את נקודת הקיצון
תשובה
רשום את נקודת הקיצון
מה עושים
הנקודה היא (2, -1)
למה
זו נקודת המינימום או המקסימום של הפונקציה
פונקציה זו יש לה נקודת מינימום בנקודה זו
פתרונות כלליים
- מציאת נקודת קיצון פונקציה ריבועית: הנגזרת של הפונקציה היא f'(x) = 2x - 4. נשווה ל0: 2x - 4 = 0. נמצא x=2. נחשב את ערך הפונקציה בנקודה זו: f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. לכן נקודת הקיצון היא (2, -1).