וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א3. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר
ב1. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב2. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב4. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב5. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב6. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב7. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
מציאת תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית
רמת קושי: קל
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = 5 חלקי (3^x מינוס 9). איפה בדיוק הפונקציה אינה מוגדרת?
רמז: המכנה של הפונקציה חייב להיות שונה מאפס. מצאו את ערכי x שגורמים למכנה להיות אפס והוציאו אותם מהתחום.
תשובה סופית: תחום ההגדרה: {x ∈ ℝ | x ≠ 2}
קובעים את המכנה שונה מאפס: 3^x - 9 ≠ 0 כלומר, 3^x ≠ 9 מכיוון ש-9 = 3^2, נקבל x ≠ 2 לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=2.
הצבת ערכים במחשבון ובדיקת התנהגות הפונקציה
רמת קושי: בינוני
הציבו ערכים שונים של x בפונקציה f(x) = 5 / (3^x - 9), לדוגמה x=0, x=1.9, x=2.1, x=10, ותארו את התנהגות הפונקציה והסיקו לאן היא שואפת כאשר x מתקרב ל-2.
רמז: הציבו את הערכים במחשבון ושימו לב לתוצאות – האם הפונקציה שואפת לערך מסוים או שהערך גדל לאינסוף? תבדקו את הגישה מצד שמאל ומימין לנקודה x=2.
תשובה סופית: הפונקציה אינה מוגדרת ב- x=2. היא שואפת לאינסוף חיובי מימין ולאינסוף שלילי משמאל.
בערך x=0, 3^0 - 9 = 1 - 9 = -8 ולכן f(0) = 5 / -8 = -0.625 בערך x=1.9, 3^{1.9} קרוב ל-7.65 -9 = -1.35, לכן f(1.9) שלילי גדול בערך בערך x=2.1, 3^{2.1} קרוב ל-11.45 -9 = 2.45, לכן f(2.1) חיובי ככל ש-x מתקרב ל-2 מימין, פונקציה שואפת לאינסוף חיובי וכאשר מתקרב משמאל, שואפת לאינסוף שלילי.
ניתוח תחום ההגדרה וגבולות פונקציה רציונלית בשימוש מחשבון
רמת קושי: מאתגר
באמצעות מחשבון גרפי או דסמוס, ציירו את הפונקציה f(x) = 5 / (3^x - 9) וראו את התנהגות הפונקציה קרוב לנקודה x=2, במינוס אינסוף ובפלוס אינסוף. הסבירו את סוגי הנקודות הקריטיות ומה ניתן להסיק לגבי תחום ההגדרה והגבולות.
רמז: נתחו את התנהגות הפונקציה בנקודות סינגולריות (x=2) ובקצוות התחום. שימו לב שהפונקציה חסומה איפה והאם יש נקודות חיתוך עם הצירים.
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל המספרים פרט ל- x=2. הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי מימין ולאינסוף שלילי משמאל לנקודה זו. יש אסימפטוטה אנכית ב-x=2, שואפת ל-0 חיובי באינסוף ו- -0.555 במינוס האינסוף.
הפונקציה חסומה ב- x=2, שם יש אסימפטוט אנכי בגלל ושהמכנה שווה לאפס. ככל ש-x שואף למינוס אינסוף, 3^x מתקרב ל-0 ולכן המכנה שואף ל- -9 והתוצאה שואפת ל- 5/(-9) = -0.555... ככל ש-x שואף לפלוס אינסוף, 3^x שואף לאינסוף והמכנה גדל לאינסוף, ולכן f(x) שואף ל-0 מחיובי. נקודת חיתוך עם ציר ה-y מתקבלת ב-x=0: f(0) = 5 / (1 - 9) = -0.625. הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=2 ומציגה אסימפטוטה אנכית שם.
תחום ההגדרה וגבולות פונקציה רציונלית
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x)=5 / (3^x - 9). א. מצאו את תחום ההגדרה שלה. ב. הציבו את הערכים x=0 ו-x=10 וחישבו את ערכי הפונקציה. ג. הסבירו לאן שואפת הפונקציה כאשר x שואף ל-2 מכל צדדיו.
רמז: א. מצאו איפה המכנה מתאפס. ב. חשבו 3^x - 9 ואז חלקו 5 בתוצאה. ג. בחנו גבולות מימין ומשמאל לנקודה x=2.
תשובה סופית: א. תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=2. ב. f(0) = -0.625, f(10) שואף ל-0 חיובי. ג. הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי מימין ולאינסוף שלילי משמאל ל-x=2.
א. תחום ההגדרה נקבע מ-3^x - 9 ≠ 0, כלומר 3^x ≠ 9, לכן x ≠ 2. ב. f(0)=5/(3^0 -9)=5/(1 -9)=5/(-8)=-0.625 f(10)=5/(3^{10} -9), 3^{10} הוא מספר גדול מאוד, לכן f(10) שואף לאפס חיובי. ג. בגישה מימין: הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי. בגישה משמאל: הפונקציה שואפת לאינסוף שלילי.
מדריך שלב-אחר-שלב לפונקציה f(x)=5/(3^x - 9)
הפונקציה f(x) = 5 / (3^x - 9)נמצא איפה המכנה מתאפס כדי לקבוע תחום הגדרה ואז ננתח התנהגות פונקציה ע"י הצבות וגבולות.
3^x - 9≠ 03^x - 9 ≠ 03^(x) - 9 != 0פתרו את 3^x ≠ 9 כדי למצוא איפה האיסור.
3^x ≠ 9x ≠ 2=> x ≠ 23^(x) != 3^(2)=> x != 2תחום ההגדרה הוא כל x למעט 2
רשמנו תחום הגדרה וגבולות הפונקציה בהתאם.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, המכנה לא יכול להיות אפס.
למה
כאשר המכנה מתאפס, הפונקציה לא מוגדרת ויש נקודת חסימה.
קבעו כי 3^x - 9 ≠ 0
נוסחה / הצבה
3^x - 9≠ 03^x - 9 ≠ 03^(x) - 9 != 0אל תשכחו שמכפלה אפס שווה לאפס.
בניית משוואה
מה עושים
פתרו את 3^x ≠ 9 כדי למצוא איפה האיסור.
למה
זה מראה את הערך שאסור שה-x יקבל.
המשוואה היא 3^x ≠ 3^2 ולכן x ≠ 2
נוסחה / הצבה
3^x ≠ 9x ≠ 2=> x ≠ 23^(x) != 3^(2)=> x != 2שימוש בלוגריתם בסיס 3.
פתרון
מה עושים
תחום ההגדרה הוא כל x למעט 2
למה
כי הערך 2 גורם לאפס במכנה והפונקציה לא מוגדרת שם.
תחום ההגדרה: x שונה מ-2
בחירת שיטה
מה עושים
הציבו ערכים קטנים מ-2 וגדולים מ-2 והסתכלו על תוצאות הפונקציה.
למה
כדי לבדוק התנהגות הפונקציה סביב נקודת האיסור.
למשל, מחושבים f(0), f(1.9), f(2.1), f(10)
השתמשו במחשבון עם דגש על הקלדת שברים.
פתרון
מה עושים
למדו לאן שואף הערך כשה-x מתקרב ל-2 מימין ומשמאל.
למה
זה מסייע להבין את ההתנהגות והחסימות על הגרף.
מול מצאו שואף לאינסוף חיובי מימין ולאינסוף שלילי משמאל.
תשובה
מה עושים
רשמנו תחום הגדרה וגבולות הפונקציה בהתאם.
למה
מכאן ניתן לנתח מערכת צירים ולהבין איפה הפונקציה מוגדרת ומתנהגת.
תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-2.