וידאו · גדילה ודעיכה
א7. גדילה ודעיכה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מציג דוגמאות לחישוב דעיכת חומרים רדיואקטיביים תוך שימוש בזמן מחצית החיים ונוסחאות גדילה ודעיכה. מתמקד בשימוש בחזקות ולוגרים כדי למצוא כמויות חומר לאחר זמן נתון.
- להבין את משמעות זמן מחצית החיים וחוקי הדעיכה
- ללמוד לכתוב נוסחאות דעיכה באמצעות חזקות
- לפתור משוואות דעיכה הכוללות חזקות ולוגרתמים
- לדעת לחשב כמות חומר שנותרה אחרי זמן נתון
- להשתמש בחוקי חזקות בפישוט ביטויים
- הגדרת גדילה ודעיכה: הסבר על מונח זמן מחצית החיים והקשר לדעיכת חומרים רדיואקטיביים.
- ייצוג מתמטי של דעיכה: נוסחה של דעיכה עם מקדם דעיכה כחזקה של זמן מחצית החיים.
- דוגמת חישוב והסקת זמן: דוגמה לחישוב כמויות חומר לאחר זמן נתון והשוואת שני חומרים.
תרגול קצר
חישוב כמות חומר לאחר זמן נתון
רמת קושי: קל
יש חומר רדיואקטיבי עם זמן מחצית חיים 5 שנים. אם מתחילים בכמות של 20 גרם, כמה חומר יישאר אחרי 10 שנים?
רמז: השתמש בנוסחת הדעיכה: Q = Q0 * (1/2)^(t/T)
פתרון מלא
תשובה סופית: 5 גרם
Q = 20 * (1/2)^(10/5) = 20 * (1/2)^2 = 20 * 1/4 = 5 גרם.
השוואת חומרים עם זמנים שונים של מחצית חיים
רמת קושי: בינוני
חומר א' מתחיל מ-10 גרם וזמן מחצית החיים שלו 6 שנים. חומר ב' מתחיל מ-40 גרם וזמן מחצית החיים שלו 3 שנים. אחרי כמה שנים הכמויות של שני החומרים יהיו שוות?
רמז: הגדר משוואה עם שני חומרים, השתמש בחזקות ולוגריתמים לפתרון משתנה הזמן.
פתרון מלא
תשובה סופית: 12 שנים
כמות א': 10*(1/2)^(t/6), כמות ב': 40*(1/2)^(t/3). משוואה: 10*(1/2)^(t/6) = 40*(1/2)^(t/3). חילוק הצדדים ב-10: (1/2)^(t/6) = 4*(1/2)^(t/3). נשתמש בחוקי חזקות: (1/2)^(t/6) / (1/2)^(t/3) = 4. (1/2)^(t/6 - t/3) = 4. (1/2)^(-t/6) = 4. 2^(t/6) = 4. 2^(t/6) = 2^2. לכן t/6 = 2 => t=12 שנים.
פתרון משוואת דעיכה עם פרמטרים שונים
רמת קושי: בגרות
יש שני חומרים רדיואקטיביים: החומר הראשון מתחיל עם 5 גרם, זמן מחצית החיים 8 שנים; החומר השני מתחיל עם 40 גרם, זמן מחצית החיים 3 שנים. לאחר כמה שנים הכמויות שוות?
רמז: כתבו את המשוואה של כמות החומר לכל אחד, השוו ושברו לחזקות. השתמשו בלוגריתמים לפתרון.
פתרון מלא
תשובה סופית: 14.4 שנים
כמות א': 5 * (1/2) ^ (t/8), כמות ב': 40 * (1/2)^(t/3). משוואה: 5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3). חילוק ב-5: (1/2)^(t/8) = 8*(1/2)^(t/3). העברת ביטויים: (1/2)^(t/8) / (1/2)^(t/3) = 8. (1/2)^(t/8 - t/3) = 8. (1/2)^(-5t/24) = 8. 2^(5t/24) = 8. 8 = 2^3. לכן 5t/24 = 3 => t = (3*24)/5 = 72/5 = 14.4 שנים.
דרך הפתרון
כיצד למצוא זמן שבו כמויות שני חומרים שוות
חישוב זמן שווה כמות בין שני חומרים עם מחצית חיים שונה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא זמן t בו הכמויות שוות
- נתון 1
חומר א' מתחיל עם 5 גרם וזמן מחצית חיים 8 שנים
- נתון 2
חומר ב' מתחיל עם 40 גרם וזמן מחצית חיים 3 שנים
- רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואת דעיכה לכל חומר, להשוות את הכמויות, לפתור את המשוואה על ידי חוקי חזקות ולוגריתמים.
- נוסחה
5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3)
5 * (1/2)^(t / 8) = 40 * (1/2)^(t / 3)5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3)5 x ((1)/(2))^((t)/(8)) = 40 x ((1)/(2))^((t)/(3)) - משוואה
מחלקים את שני האגפים ב-5 ומאחדים חזקות בסיס 1/2
מחלקים את שני האגפים ב-5 ומאחדים חזקות בסיס 1/2
(1/2)^(t / 8) / (1/2)^(t / 3) = 8(1/2)^(t/8) / (1/2)^(t/3) = 8((1)/(2))^((t)/(8)) ((1)/(2))^((t)/(3)) = 8 - פישוט
כותבים את המשוואה כשורש של 2 ומציבים חזקה אחת בלבד
כותבים את המשוואה כשורש של 2 ומציבים חזקה אחת בלבד
(1/2)^(t/8- t/3) - תוצאה
מסיימים בתשובה
משווים חזקה של 2 וטוענים 5t/24 = 3, מפה t=14.4
5t / 24 = 35t/24 = 3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
כמויות וזמנים נתונים
זיהוי נתונים
כמויות וזמנים נתונים
מה עושים
רושמים את הכמויות ההתחלתיות וזמני מחצית החיים של שני החומרים.
למה
כדי להתבסס על הנתונים הפיזיקליים של הבעיה.
2בחירת שיטה
להגדיר משוואה להשוואת כמויות
בחירת שיטה
להגדיר משוואה להשוואת כמויות
מה עושים
כותבים את נוסחת הדעיכה לכל חומר ומציבים השוואה בין הכמויות אחרי זמן t.
למה
כי הכמויות שוות הן הבעיה המרכזית לפתרון.
3בניית משוואה
נוסחות דעיכה ומשוואה
בניית משוואה
נוסחות דעיכה ומשוואה
מה עושים
5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3)
למה
מציגים את המשוואה המבוססת על חוק דעיכה.
נוסחה / הצבה
5 * (1/2)^(t / 8) = 40 * (1/2)^(t / 3)5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3)5 x ((1)/(2))^((t)/(8)) = 40 x ((1)/(2))^((t)/(3))להכין את הנוסחות לפני הפתרון.
4פתרון
פישוט המשוואה עם חוקי חזקות
פתרון
פישוט המשוואה עם חוקי חזקות
מה עושים
מחלקים את שני האגפים ב-5 ומאחדים חזקות בסיס 1/2
למה
מקטין את המשוואה לצורה נוחה יותר לפתרון.
נוסחה / הצבה
(1/2)^(t / 8) / (1/2)^(t / 3) = 8(1/2)^(t/8) / (1/2)^(t/3) = 8((1)/(2))^((t)/(8)) ((1)/(2))^((t)/(3)) = 8משתמשים בחוקי חזקות לחיסור מעריכים.
5פתרון
קבלת משוואה עם בסיס 2 וחזקה ליניארית
פתרון
קבלת משוואה עם בסיס 2 וחזקה ליניארית
מה עושים
כותבים את המשוואה כשורש של 2 ומציבים חזקה אחת בלבד
למה
להפוך המשוואה לצורה שמוכרת לפתרון לוגריתמי.
נוסחה / הצבה
(1/2)^(t/8- t/3)= 8=> (1/2)^(-5t/24)=> 2^(5t/24)להשתמש בכללי חזקות במעבר לבסיס 2.
6פתרון
חשב את t מהמשוואה
פתרון
חשב את t מהמשוואה
מה עושים
משווים חזקה של 2 וטוענים 5t/24 = 3, מפה t=14.4
למה
מכיוון ש-8 זה 2 בחזקת 3, מפעילים שוויון חזקות.
נוסחה / הצבה
5t / 24 = 35t/24 = 3(5t)/(24) = 3השלב הסופי המחבר בין החזקה לתוצאה.
פתרונות כלליים
- חישוב כמות חומר לאחר זמן נתון: Q = 20 * (1/2)^(10/5) = 20 * (1/2)^2 = 20 * 1/4 = 5 גרם.
- השוואת חומרים עם זמנים שונים של מחצית חיים: כמות א': 10*(1/2)^(t/6), כמות ב': 40*(1/2)^(t/3). משוואה: 10*(1/2)^(t/6) = 40*(1/2)^(t/3). חילוק הצדדים ב-10: (1/2)^(t/6) = 4*(1/2)^(t/3). נשתמש בחוקי חזקות: (1/2)^(t/6) / (1/2)^(t/3) = 4. (1/2)^(t/6 - t/3) = 4. (1/2)^(-t/6) = 4. 2^(t/6) = 4. 2^(t/6) = 2^2. לכן t/6 = 2 => t=12 שנים.
- פתרון משוואת דעיכה עם פרמטרים שונים: כמות א': 5 * (1/2) ^ (t/8), כמות ב': 40 * (1/2)^(t/3). משוואה: 5*(1/2)^(t/8) = 40*(1/2)^(t/3). חילוק ב-5: (1/2)^(t/8) = 8*(1/2)^(t/3). העברת ביטויים: (1/2)^(t/8) / (1/2)^(t/3) = 8. (1/2)^(t/8 - t/3) = 8. (1/2)^(-5t/24) = 8. 2^(5t/24) = 8. 8 = 2^3. לכן 5t/24 = 3 => t = (3*24)/5 = 72/5 = 14.4 שנים.