וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית
א1. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ברמת 5 יחידות, כולל חוקים מיוחדים לגזירה, טיפול בנגזרות של פעולות כמו מכפלה, הכרה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, וטעויות נפוצות שכדאי להימנע מהן.
- להכיר מופעים שונים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- לדעת לגזור פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לפי החוקים המתאימים
- להבין כיצד ליישם את כלל הגזירה על פונקציות מורכבות
- לזהות ולתקן טעויות נפוצות בגזירת פונקציות אלה
- להשתמש בדף נוסחאות בצורה יעילה במהלך פתרון תרגילים
- הכרת הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות: הצגה של הפונקציות המעריכיות ולוגריתמיות וההבדלים בינהן לעומת פונקציות רגילות ופונקציות טריגונומטריות.
- חוקי הגזירה לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הסבר על החוקים המיוחדים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כולל שמירת מקדמים מספריים ונגזרת פנימית.
- טיפול בנגזרות של פונקציות מורכבות: יישום הכללים בגזירת פונקציות המכילות כפל ופונקציות עם חזקות ומשוואות מורכבות.
- טעויות נפוצות ושימוש בדף הנוסחאות: הדגשה של טעויות מאוד נפוצות בגזירת פונקציות אלה והדרכה כיצד להשתמש בדף הנוסחאות בשיעור ובבחינה.
תרגול קצר
גזור את הפונקציה 5 כפול 7 בחזקת x
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה f(x) = 5 * 7^x.
רמז: השתמש בחוק הגזירה של פונקציה מעריכית וכפל במקדם.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 5 * 7^x * ln(7)
הנגזרת של 7^x היא 7^x ln(7). מכפילים במקדם 5, התוצאה היא 5 * 7^x * ln(7).
גזור את הפונקציה e בחזקת (x בריבוע מינוס 3x)
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה f(x) = e^(x^2 - 3x).
רמז: גזור את הפונקציה המעריכית והשתמש בנגזרת הפנימית של הביטוי בחזקת e.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3)
הנגזרת היא e^(x^2 - 3x) כפול נגזרת (x^2 - 3x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3).
גזור את הפונקציה x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x
רמת קושי: מאתגר
גזור את הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x).
רמז: השתמש בכלל מכפלה, גזור כל חלק בנפרד ואל תשכח את הנגזרת של e
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = e^(-x) * (2x - x^2)
נגזרת של x^2 היא 2x. נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת (-x) = -e^(-x). לכן, לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x)(2x - x^2).
גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3
רמת קושי: בגרות
גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3.
רמז: השתמש בחוק הגזירה של פונקציה מעריכית ולגזור פונקציה רגילה בנפרד.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2
נגזרת של 3^x היא 3^x ln(3). נגזרת של 2x^3 היא 6x^2. לכן: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2.
דרך הפתרון
מפת פתרון לגזירת פונקציה מעריכית
כיצד לגזור פונקציה מעריכית מורכבת בקלות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא למצוא את הנגזרת f'(x)
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x^2 * e^(-x) - רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בכלל מכפלה לגזירת פונקציה שהיא מכפלה של פונקציה רגילה ופונקציה מעריכית
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)
הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)
- פישוט
gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)
gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)
- תוצאה
מסיימים בתשובה
f'(x) = e^(-x)(2x - x^2)
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הכרת סוגי הפונקציות המעריכיות
- זיהוי הנגזרת הפנימית בכל פונקציה מורכבת
- זהירות: שכחת להחיל את כלל המכפלה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
נתונה הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x)
למה
נכיר את הביטוי שעליו נפעיל את הגזירה
הפונקציה היא מכפלה של x בחזקת 2 ופונקציה מעריכית e בחזקת מינוס x
2בחירת שיטה
השתמש בכלל המכפלה
בחירת שיטה
השתמש בכלל המכפלה
מה עושים
נשתמש בכלל הגזירה למכפלות f*g
למה
כדי לגזור פונקציה שמורכבת מ-מכפלה של שני פונקציות שונות
נגזרת של f*g היא f' * g + f * g'
נוסחה / הצבה
(f * g)' = f' * g + f * g'יש לשים לב לכך שכל חלק צריך להיגזר בנפרד
3בניית משוואה
הגדר את הפונקציות f ו-g
בניית משוואה
הגדר את הפונקציות f ו-g
מה עושים
הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)
למה
לרשום כל פונקציה כדי לגזור כל אחת בנפרד
אנו מניחים f = x^2, g = e^(-x)
4פתרון
גזור את f ו-g
פתרון
גזור את f ו-g
מה עושים
gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)
למה
להשתמש בנוסחאות גזירה של פונקציות רגילות ומעריכיות
נגזרת של x^2 היא 2x; נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת -x שהיא -1
לא לשכוח את הנגזרת הפנימית לפונקציה המעריכית
5פתרון
הכנס לנוסחה המשולבת
פתרון
הכנס לנוסחה המשולבת
מה עושים
f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x))
למה
לסכם את הנגזרות לפי כלל המכפלה
הכפל והוסף על פי הכלל
שימוש בכלל המכפלה נכון ימנע טעויות
6תשובה
פשט את הנגזרת
תשובה
פשט את הנגזרת
מה עושים
f'(x) = e^(-x)(2x - x^2)
למה
קבלה של ביטוי נגזרת פשוט ונוח לעבודה
משתמשים בחילוץ גורם משותף e^(-x)
עדיף להשאיר בצורה מפושטת
פתרונות כלליים
- גזור את הפונקציה 5 כפול 7 בחזקת x: הנגזרת של 7^x היא 7^x ln(7). מכפילים במקדם 5, התוצאה היא 5 * 7^x * ln(7).
- גזור את הפונקציה e בחזקת (x בריבוע מינוס 3x): הנגזרת היא e^(x^2 - 3x) כפול נגזרת (x^2 - 3x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3).
- גזור את הפונקציה x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x: נגזרת של x^2 היא 2x. נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת (-x) = -e^(-x). לכן, לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x)(2x - x^2).
- גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3: נגזרת של 3^x היא 3^x ln(3). נגזרת של 2x^3 היא 6x^2. לכן: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2.