וידאו · משוואה מעריכית
א10. משוואות מעריכיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא פתרון משוואות מעריכיות עם בסיס אי, זיהוי שוויון מעריכים, שימוש בגורם משותף ופישוט משוואות. בעזרת דוגמאות ותרגילים נלמד כיצד להסיק את ערך המשתנה מהשוואת מעריכים, ולפתור משוואות ריבועיות שנוצרות בתהליך.
- הבנת משמעות בסיס אי כמספר ממשי קבוע.
- לזהות משוואות מעריכיות עם אותו בסיס ולפתור בהתאמה.
- לשוות מעריכים במקרים שבהם הבסיסים זהים.
- לדעת להוציא גורם משותף משותף במשוואות מעריכיות.
- לפתור משוואות לוגיות שנוצרות מהשוואת מעריכים.
- להיזהר ולהבין מתי פתרון שווה 0 או לא-אפשרי מבחינת ערכי אי.
- הגדרת בסיס אי ומשמעותו: הבסיס אי הוא הקבוע 2.718, נשתמש בסימון אי במקום מספר זה בכל חוזק למטרות פתרון משוואות מעריכיות.
- פתרון משוואות מעריכיות עם בסיס זהה: כשבסיס המשוואות זהה (למשל e בחזקת ביטויים שונים), ניתן לשוות ישירות את החזקות ולפתור את המשוואה.
- שימוש בגורם משותף לפישוט משוואות: במקרים בהם מופיעים איברים עם גורמים משותפים, חשוב להוציא גורם משותף כדי להקל על הפתרון.
תרגול קצר
פתור את e בחזקת x = 1
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה e בחזקת x שווה ל-1.
רמז: e בחזקת 0 הוא 1, ולכן נסיק את ערך x.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 0
כיוון ש-e בחזקת 0 שווה 1, אז x שווה 0.
פתור e בחזקת 3x = e בחזקת 6
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה e בחזקת 3x שווה ל-e בחזקת 6.
רמז: כיוון שהבסיסים זהים, שווה בין החזקות.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 2
3x = 6 לכן x = 6/3 = 2
פתור את המשוואה e בחזקת x בריבוע מינוס 3x = e בחזקת -2
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: e בחזקת x בריבוע מינוס 3x = e בחזקת מינוס 2.
רמז: השווה את המעריכים ופתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 2 או x = 1
x^2 - 3x = -2 x^2 - 3x + 2 = 0 (x - 2)(x - 1) = 0 x = 2 או x = 1.
פתור משוואה עם גורם משותף
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה: 4x⋅e^x - x²⋅e^x = 0.
רמז: נצא e^x גורם משותף ואז נפתור את המשוואה הריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 0 או x = 4
e^x (4x - x²) = 0 תמיד e^x ≠ 0 ולכן 4x - x² = 0 x(4 - x) = 0 x = 0 או x = 4.
פתור משוואה מעריכית חלקי e ב־x בריבוע
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה: 2⋅e^(2x)/x - e^(2x)/x² = 0.
רמז: הוצא גורם משותף e^(2x)/x² ואז פשט את הביטוי.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 1/2
e^(2x)/x² (2x - 1) = 0 e^(2x)/x² ≠ 0 לכן 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2.
דרך הפתרון
פתרון משוואה מעריכית פשוטה
דוגמה: פתרון e בחזקת 3x = e בחזקת 6
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך x שמספק את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
e בחזקת 3x = e בחזקת 6 - רעיון
הרעיון המרכזי
משווים את מעריכי החזקות כאשר הבסיסים שווים.
- נוסחה
כתוב את המשוואה 3x = 6 לפתרון פשוט.
3x = 6 - משוואה
המשוואה נתונה כך ש-e בחזקת 3x שווה ל-e בחזקת 6.
המשוואה נתונה כך ש-e בחזקת 3x שווה ל-e בחזקת 6.
- פישוט
חלק את שני אגפי המשוואה ב־3.
חלק את שני אגפי המשוואה ב־3.
x = 6 / 3x = 6 3 - תוצאה
מסיימים בתשובה
קיבלנו ש-x שווה 2.
x = 2 - בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הבנת שמכיוון שהבסיסים שווים, משווים את המעריכים?
- פתרת נכון המשוואה הליניארית שהתקבלה?
- זהירות: לא משווים את המעריכים למרות שהבסיסים שווים.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
קרא את המשוואה
זיהוי נתונים
קרא את המשוואה
מה עושים
המשוואה נתונה כך ש-e בחזקת 3x שווה ל-e בחזקת 6.
למה
מכיוון ששני האיברים עם אותו בסיס, ניתן לשוות את החזקות.
משוואה: e^(3x) = e^6
2בחירת שיטה
משווים את מעריכי החזקות
בחירת שיטה
משווים את מעריכי החזקות
מה עושים
מכיוון שהבסיס e זהה בשני האיברים, שווים את החזקות: 3x = 6.
למה
זו תכונה של חזקות עם אותו בסיס — אם a^m = a^n אז m = n.
3בניית משוואה
קבל משוואה ליניארית
בניית משוואה
קבל משוואה ליניארית
מה עושים
כתוב את המשוואה 3x = 6 לפתרון פשוט.
למה
המשוואה החדשה קלה יותר לפתרון בהשוואה למשוואה המעריכית המקורית.
נוסחה / הצבה
3x = 64פתרון
פשט ופתור את x
פתרון
פשט ופתור את x
מה עושים
חלק את שני אגפי המשוואה ב־3.
למה
כדי לקבל את ערך x בודד.
נוסחה / הצבה
x = 6 / 3x = 6 35תשובה
סכם את התשובה
תשובה
סכם את התשובה
מה עושים
קיבלנו ש-x שווה 2.
למה
זו התוצאה שמספקת את המשוואה המקורית.
נוסחה / הצבה
x = 2פתרונות כלליים
- פתור את e בחזקת x = 1: כיוון ש-e בחזקת 0 שווה 1, אז x שווה 0.
- פתור e בחזקת 3x = e בחזקת 6: 3x = 6 לכן x = 6/3 = 2
- פתור את המשוואה e בחזקת x בריבוע מינוס 3x = e בחזקת -2: x^2 - 3x = -2 x^2 - 3x + 2 = 0 (x - 2)(x - 1) = 0 x = 2 או x = 1.
- פתור משוואה עם גורם משותף: e^x (4x - x²) = 0 תמיד e^x ≠ 0 ולכן 4x - x² = 0 x(4 - x) = 0 x = 0 או x = 4.
- פתור משוואה מעריכית חלקי e ב־x בריבוע: e^(2x)/x² (2x - 1) = 0 e^(2x)/x² ≠ 0 לכן 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2.