וידאו · חזרות
ה6. חזרות אנליטית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נוסבר איך למצוא את המקום הגיאומטרי של נקודות המרוחקות במרחק שווה מישרים באמצעות שימוש בנוסחת המרחק של נקודה מישר ופתרון משוואות עם ערכי מוחלט.
- להבין את מושג המקום הגיאומטרי כקבוצה של נקודות המקיימות תנאי מרחק
- ליישם את נוסחת המרחק של נקודה מישר בחישובים אנליטיים
- לפתור משוואות המכילות ערכי מוחלט בהקשר של מקום גיאומטרי
- לרשום את המשוואה של מקום גיאומטרי בצורת ישר או עקמומיות בהתאם לנתונים
- הגדרת הבעיה: נרצה למצוא את קבוצת הנקודות שהמרחק שלהן משני ישרים הוא קבוע כך שהם יוצרים מקום גיאומטרי מסוים.
- שימוש בנוסחת המרחק מנקודה לישר: השתמשנו בנוסחה של המרחק מנקודה לישר Ax+By+C=0 עבור נקודה (x,y) כדי לייצג את התנאי של מרחק שווה בין נקודות לישרים
- פתרון המשוואות עם ערכי מוחלט: כדי לפתור את המשוואה שהתקבלה עם ערכים מוחלטים, אנו בודקים שתי אפשרויות: שוויון רגיל או שוויון עם סימן הפוך
תרגול קצר
מקום גיאומטרי של נקודות המרוחקות במרחק שווה מישר
רמת קושי: קל
מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות במישור שהמרחק שלהן מהישר 4x - 10y - 3 = 0 שווה למרחק מהישר 4x - 10y + 10 = 0.
רמז: השתמש בנוסחת המרחק מנקודה לישר והשתמש בערך מוחלט להפרדה למקרים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 8x - 20y + 7 = 0
נשתמש בנוסחת מרחק נקודה ממישור: המרחק מנקודה (x,y) לישר Ax+By+C=0 הוא |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2). קיבענו שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני, לכן: |4x - 10y - 3| / sqrt(4^2 + (-10)^2) = |4x - 10y + 10| / sqrt(4^2 + (-10)^2) ביטול המכנה המשותף sqrt(16+100)= sqrt(116) מוביל ל: |4x - 10y - 3| = |4x - 10y + 10| נפתור שתי משוואות: 1) 4x - 10y - 3 = 4x - 10y + 10, מוביל ל- -3 = 10, סתירה 2) 4x - 10y - 3 = -(4x - 10y + 10) -> 4x - 10y - 3 = -4x + 10y -10 עביר אגפים ונפשט: 4x + 4x -10y -10y = -10 + 3 8x - 20y = -7 זו משוואת המקום הגיאומטרי.
דרך הפתרון
מקום גיאומטרי של נקודות במרחק שווה משני ישרים
מציאת המשוואה של הקו שמכיל את כל הנקודות שווי המרחק
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות המרוחקות שווה משני הישרים
- נתון 1
נתון 1
ישר ראשון במשוואה 4x - 10y - 3 = 0 - נתון 2
נתון 2
ישר שני במשוואה 4x - 10y + 10 = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחת המרחק מנקודה לישר ונפתור את המשוואה המקבלת שוויון של הערכים המוחלטים כדי למצוא את
- נוסחה
נכתוב את נוסחת המרחק מנקודה (x,y) לישר Ax + By + C = 0 כערך מוחלט חלקי
|4x - 10y - 3|-----------sqrt(116) = |4x - 10y + 10|sqrt(116)|4x - משוואה
נבטל את המכנה ונקבל |4x - 10y - 3| = |4x - 10y + 10|, ונבדוק מתי תנאי זה
נבטל את המכנה ונקבל |4x - 10y - 3| = |4x - 10y + 10|, ונבדוק מתי תנאי זה מתקיים על ידי
- פישוט
קיבלנו משוואות הישרים הנתונים 4x - 10y - 3 = 0 ו-4x - 10y + 10 = 0.
קיבלנו משוואות הישרים הנתונים 4x - 10y - 3 = 0 ו-4x - 10y + 10 = 0.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
פתרנו ונקבל משוואה קווית 8x - 20y + 7 = 0 שמתארת את המקום הגיאומטרי.
8x - 20y + 7 = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים - משוואות הישרים
זיהוי נתונים
נתונים - משוואות הישרים
מה עושים
קיבלנו משוואות הישרים הנתונים 4x - 10y - 3 = 0 ו-4x - 10y + 10 = 0.
למה
צריך להגדיר את הישרים כדי לחשב מרחקים מנקודה אליהם.
משוואות הישרים הן הבסיס לחישוב המרחקים בנקודה כלשהי במישור.
2בחירת שיטה
הבנת המשימה
בחירת שיטה
הבנת המשימה
מה עושים
נמצא נקודות במישור שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני.
למה
מקום גיאומטרי מוגדר כנוסחה שמקיימת תנאי מרחק זהה בין נקודה לישרים שונים.
המשוואה תנחה על נקודות שוות במרחקן לשני הישרים.
3בניית משוואה
כתיבת משוואת המרחק לנקודה
בניית משוואה
כתיבת משוואת המרחק לנקודה
מה עושים
נכתוב את נוסחת המרחק מנקודה (x,y) לישר Ax + By + C = 0 כערך מוחלט חלקי שורש ריבועות המקדמים.
למה
נוסחה זו מאפשרת להגדיר את המרחק ולהשוות בין שני ערכי מרחק.
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)
נוסחה / הצבה
|4x - 10y - 3|-----------sqrt(116) = |4x - 10y + 10|sqrt(116)|4xהמקדם sqrt(4²+(-10)²) הוא אותו מספר בשני האגפים ולכן ניתן לבטלו.
4פתרון
פתירת המשוואה עם ערכי מוחלט
פתרון
פתירת המשוואה עם ערכי מוחלט
מה עושים
נבטל את המכנה ונקבל |4x - 10y - 3| = |4x - 10y + 10|, ונבדוק מתי תנאי זה מתקיים על ידי שקילת שני מקרים של הערך המוחלט.
למה
ערכי מוחלט מחייבים לקחת בחשבון את שני המצבים: חיובי ושלילי.
פתרון שתי משוואות: 4x -10y -3 = 4x -10y +10 או 4x - 10y -3 = -(4x -10y +10)
יש לשים לב שקיום תנאים מסוימים מתבטל בסתירה ומותיר פתרון יחיד.
5פתרון
קבלת משוואת הישר במקום הגיאומטרי
פתרון
קבלת משוואת הישר במקום הגיאומטרי
מה עושים
פתרנו ונקבל משוואה קווית 8x - 20y + 7 = 0 שמתארת את המקום הגיאומטרי.
למה
זו משוואת ישר המכוונת את כל הנקודות שהמרחק שלהן משני הישרים שווה.
פתרון המשוואה השנייה לאחר ביטול אגפים וקיבוע פרמטרים.
נוסחה / הצבה
8x - 20y + 7 = 0המשוואה פשוטה וניתן לזהות ישר במישור.
פתרונות כלליים
- מקום גיאומטרי של נקודות המרוחקות במרחק שווה מישר: נשתמש בנוסחת מרחק נקודה ממישור: המרחק מנקודה (x,y) לישר Ax+By+C=0 הוא |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2). קיבענו שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני, לכן: |4x - 10y - 3| / sqrt(4^2 + (-10)^2) = |4x - 10y + 10| / sqrt(4^2 + (-10)^2) ביטול המכנה המשותף sqrt(16+100)= sqrt(116) מוביל ל: |4x - 10y - 3| = |4x - 10y + 10| נפתור שתי משוואות: 1) 4x - 10y - 3 = 4x - 10y + 10, מוביל ל- -3 = 10, סתירה 2) 4x - 10y - 3 = -(4x - 10y + 10) -> 4x - 10y - 3 = -4x + 10y -10 עביר אגפים ונפשט: 4x + 4x -10y -10y = -10 + 3 8x - 20y = -7 זו משוואת המקום הגיאומטרי.