וידאו · משיק לפונקציה
ב2. משיק לפונקציה דרך נקודה שאינה על הפונקציה שיטת העבודה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- לומדים כיצד למצוא משיק לפונקציה מנקודה שלא שייכת לפונקציה על ידי המצאת נקודת ההשקה וחישוב שיפוע במשוואה מתמטית.
- להבין מהי נקודת ההשקה של משיק לפונקציה
- למצוא שיפוע משיק לפונקציה דרך חישוב נגזרת והצבת נקודת השקה משתנה
- לחשב משוואת משיק דרך נקודה חיצונית לפונקציה
- להשוות בין השיפועים המחושבים בשתי דרכים ולהשלים פתרון למשוואה של נקודת ההשקה
- הבעיה המרכזית: מתבקשים למצוא את משוואת המשיק לפונקציה דרך נקודה שאינה על הפונקציה ומכאן שאין ישירות את נקודת ההשקה והנגזרת שצריך להציב.
- שיטת העבודה: מציאת שיפוע המשיק בשתי דרכים והשוואתן להשגת משוואה לחישוב T, וממנו מציאת נקודת ההשקה ומשוואת המשיק.
תרגול קצר
מצא נקודת ההשקה, שיפוע ומשוואת משיק
רמת קושי: קל
הפונקציה y = x^3 - 4x. דרך הנקודה (2, -8) עובר משיק לפונקציה. מצא את נקודת ההשקה, שיפוע המשיק ומשוואת המשיק.
רמז: הצג את נקודת ההשקה כ(T, T^3 - 4T). חשב את שיפוע המשיק בשתי דרכים והשווה בין הביטויים כדי למצוא T.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת ההשקה: (0,0) או (3,15). משוואת המשיק: y=-4x או y=23x-54.
1. הגדר נקודת ההשקה כ-T: נקודת ההשקה היא (T, T^3 - 4T). 2. נגזרת הפונקציה: dy/dx = 3x^2 - 4. 3. שיפוע משיק בנקודה T: m1 = 3T^2 - 4. 4. חישוב שיפוע בין שתי נקודות (2, -8) ו-(T, T^3 - 4T): m2 = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2). 5. השווה בין m1 ל-m2 והכפל באגפים כדי לקבל משוואה: 3T^2 - 4 = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2) (3T^2 - 4)(T - 2) = T^3 - 4T + 8 6. פתח וסדר משוואה ריבועית או שלישית. הפתרונות הם T=0 או T=3. 7. חישוב Y בנקודת ההשקה: אם T=0, Y=0^3 - 4*0=0. אם T=3, Y=27 - 12=15. 8. חישוב שיפוע לכל נקודה: T=0: m=3*0 -4 = -4. T=3: m=3*9 -4 = 23. 9. משוואות המשיק: ל-T=0: y -0 = -4(x-0) => y = -4x. ל-T=3: y - 15 = 23(x - 3) => y = 23x - 69 + 15 => y=23x - 54.
דרך הפתרון
מפת פתרון: משיק לפונקציה דרך נקודה שאינה על הפונקציה
פתרון תרגיל למציאת נקודת השקה, שיפוע ומשוואת המשיק
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודת ההשקה על הפונקציה / שיפוע המשיק / משוואת המשיק
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה: y = x³ - 4x - נתון 2
נקודה חיצונית למשיק: (2, -8)
- רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא נקודת השקה (T, T³-4T) שלא ידועה, נחשב שיפוע המשיק בשתי דרכים, נשווה ביניהן ונפתור עבור T.
- נוסחה
חישוב שיפוע המשיק במשתנה T: m=3T²-4
m = 3T^2 - 4m=3T^2 -4m = 3T^(2) - 4 - משוואה
חשב את השיפוע בין נקודת הנתון לנקודת ההשקה
חשב את השיפוע בין נקודת הנתון לנקודת ההשקה
m = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2)m= (T^3 - 4T + 8)/(T - 2)m = (T^(3) - 4T + 8)/(T - 2) - פישוט
השווה בין שני הביטויים של השיפוע ופתור עבור T
השווה בין שני הביטויים של השיפוע ופתור עבור T
(3T^2 -4)(T-2) = T^3 -4T +8(3T^(2) - 4)(T - 2) = T^(3) - 4T + 8 - תוצאה
מסיימים בתשובה
מצא את ערכי T: T=0 או T=3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נקודת ההשקה
זיהוי נתונים
הגדרת נקודת ההשקה
מה עושים
הניחו את נקודת ההשקה כ-(T, T³ - 4T)
למה
לא ידוע X ההשקה ולכן נציג את ערכו כמשתנה T
ממציאים את X נקודת ההשקה ויוצרים ביטוי עבור Y לפי פונקציה
המצאת משתנה מסייע בפתרון מקרים שאין נתונים ישירים
2בחירת שיטה
גזירת הפונקציה
בחירת שיטה
גזירת הפונקציה
מה עושים
חשב את הנגזרת dy/dx = 3x² -4
למה
הנגזרת נותנת את שיפוע המשיק בנקודה כלשהי x
חשוב לדעת שיפוע המשיק בחיבור עם נקודת ההשקה
נוסחה / הצבה
dy/dx = 3x^2 - 4dy/dx=3x^2 -4(dy)/(dx) = 3x^(2) - 4נציב בהמשך את x=T בחישוב שיפוע המשיק
3בניית משוואה
שיפוע משיק בנקודה T
בניית משוואה
שיפוע משיק בנקודה T
מה עושים
חישוב שיפוע המשיק במשתנה T: m=3T²-4
למה
זוהי שיפוע המשיק שעל הפונקציה בנקודת ההשקה
נוסחה / הצבה
m = 3T^2 - 4m=3T^2 -4m = 3T^(2) - 44בניית משוואה
שיפוע בין שתי נקודות
בניית משוואה
שיפוע בין שתי נקודות
מה עושים
חשב את השיפוע בין נקודת הנתון לנקודת ההשקה
למה
השיפוע צריך להיות זהה לשיפוע משיק ליניארי בין שתי נקודות
m = (T³ - 4T +8)/(T - 2)
נוסחה / הצבה
m = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2)m= (T^3 - 4T + 8)/(T - 2)m = (T^(3) - 4T + 8)/(T - 2)5פתרון
השוואת ביטויי השיפוע
פתרון
השוואת ביטויי השיפוע
מה עושים
השווה בין שני הביטויים של השיפוע ופתור עבור T
למה
הכפלת אגפים תניב משוואה פולינומית שתיתן ערכי T
(3T² - 4)(T - 2) = T³ - 4T + 8
נוסחה / הצבה
(3T^2 -4)(T-2) = T^3 -4T +8(3T^(2) - 4)(T - 2) = T^(3) - 4T + 8פתור את המשוואה באמצעות פיתוח ואיסוף איברים
6פתרון
פתרון המשוואה
פתרון
פתרון המשוואה
מה עושים
מצא את ערכי T: T=0 או T=3
למה
ערכי T מייצגים את נקודת ההשקה האפשרית
פתרונות כלליים
- מצא נקודת ההשקה, שיפוע ומשוואת משיק: 1. הגדר נקודת ההשקה כ-T: נקודת ההשקה היא (T, T^3 - 4T). 2. נגזרת הפונקציה: dy/dx = 3x^2 - 4. 3. שיפוע משיק בנקודה T: m1 = 3T^2 - 4. 4. חישוב שיפוע בין שתי נקודות (2, -8) ו-(T, T^3 - 4T): m2 = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2). 5. השווה בין m1 ל-m2 והכפל באגפים כדי לקבל משוואה: 3T^2 - 4 = (T^3 - 4T + 8) / (T - 2) (3T^2 - 4)(T - 2) = T^3 - 4T + 8 6. פתח וסדר משוואה ריבועית או שלישית. הפתרונות הם T=0 או T=3. 7. חישוב Y בנקודת ההשקה: אם T=0, Y=0^3 - 4*0=0. אם T=3, Y=27 - 12=15. 8. חישוב שיפוע לכל נקודה: T=0: m=3*0 -4 = -4. T=3: m=3*9 -4 = 23. 9. משוואות המשיק: ל-T=0: y -0 = -4(x-0) => y = -4x. ל-T=3: y - 15 = 23(x - 3) => y = 23x - 69 + 15 => y=23x - 54.